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Lexikon der Mathematik: truncated-power-Funktion

spezielle Funktion einer oder mehrerer reeller Variabler, mit deren Hilfe man eine Basis des Raums der Splinefunktionen konstruieren kann.

Es seien x(1), …, x(n+m) Punkte im ℝn mit der Eigenschaft, daß jede n-elementige Teilmenge der zugehörigen Menge von Vektoren linear unabhängig ist. Weiter gelte, daß der Nullvektor nicht in der konvexen Hülle dieser Punkte, also der Menge \begin{eqnarray}\{\displaystyle \sum _{i=1}^{n+m}{\lambda}_{i}{x}^{(i)}:\displaystyle \sum _{i=1}^{n+m}{\lambda}_{i}=1,\ \ {\lambda}_{i}\ge 0,\ \ i=1,\ldots,n+m\},\end{eqnarray} enthalten sei. Dann heißt die reellwertige Funktion T(1, …, n+m) in n Variablen, welche durch die Vorschrift \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{T}_{(1,\ldots,n+m)}(x)=vo{l}_{m}\{\lambda \in {{\mathbb{R}}}^{n+m}:{\lambda}_{i}\ge 0,\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \displaystyle \sum _{i=1}^{n+m}{\lambda}_{i}{x}^{(i)}=x\}\end{array}\end{eqnarray} festgelegt ist, (multivariate) truncated-power-Funktion.

Die Funktion T(1, …, n+m) ist stückweise polynomial vom totalen Grad m und (m − 1)-fach differenzierbar, also eine Splinefunktion. Im Spezialfall einer Variablen, d. h. n = 1, gilt die einfache Darstellung \begin{eqnarray}{T}_{(1,\ldots,m+1)}(x)=\max {\{0,x\}}^{m},\ \ x\in {\mathbb{R}}.\end{eqnarray}

In diesem Fall bilden die Polynome vom Grad m gemeinsam mit den truncated-power-Funktionen T(1, …, m+1)(xxk) eine Basis des Splineraums (mit einfachen Knoten xk).

Für Splines in zwei Variablen hinsichtlich gleichmäßiger Partitionen benötigt man zur Konstruktion einer Basis zudem gewisse zusätzliche Basisfunktionen, die sogenannten Kegelsplines.

Multivariate truncated-power-Funktionen können nach dem folgenden Satz von W. Dahmen aus dem Jahr 1980 rekursiv berechnet werden:

Für alle \begin{eqnarray}x=\displaystyle \sum _{i=1}^{n+m}{\lambda}_{i}{x}^{(i)}\end{eqnarray}gilt: \begin{eqnarray}{T}_{(1,\ldots,n+m)}(x)=\frac{1}{m}\displaystyle \sum _{i=1}^{n+m}{\lambda}_{i}{T}_{(1,\ldots,i-1,i+1,\ldots,n+m)}(x).\end{eqnarray}

[1] Nürnberger, G.: Approximation by Spline Functions. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1989.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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