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Lexikon der Mathematik: Tschebyschew-Differentialgleichung

homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form \begin{eqnarray}(1-{x}^{2}){y}^{\prime\prime}-x{y}^{\prime}+{a}^{2}y=0\end{eqnarray} mit beliebigem a ∈ ℝ.

Mit einem Potenzreihenansatz erhält man für |x| ≤ 1 und mit beliebigen Konstanten c1, c2 die allgemeine Lösung \begin{eqnarray}\begin{array}{l}y(x)={c}_{0}(1-\frac{{a}^{2}}{2!}{x}^{2}-\displaystyle {\sum}_{k=2}^{\infty}\frac{{a}^{2}({2}^{2}-{a}^{2})({4}^{2}-{a}^{2})\cdots ({(2k-2)}^{2}-{a}^{2})}{(2k)!}{x}^{2k})\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, +{c}_{1}(x+\displaystyle {\sum}_{k=1}^{\infty}\frac{({1}^{2}-{a}^{2})({3}^{2}-{a}^{2})\cdots ({(2k-1)}^{2}-{a}^{2})}{(2k+1)!}{x}^{2k+1}).\end{array}\end{eqnarray}

Falls a = 2n (mit geeignetem n ∈ ℕ0), so wird aus der ersten Klammer ein gerades Polynom vom Grad 2n. Falls a = 2n + 1, so wird aus der zweiten Klammer ein ungerades Polynom vom Grad 2n + 1. Dies sind bei geeigneter Normierung gerade die Tschebyschew-Polynome.

[1] Heuser, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. B.G. Teubner Stuttgart, 1989.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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