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Lexikon der Mathematik: Tschebyschew-Polynome

rekursiv definierte Klasse von Polynomen, welche in vielen Bereichen der Numerischen Mathematik und der Approximationstheorie auftritt.

Die Tschebyschew-Polynome (erster Art) \begin{eqnarray}{T}_{n}:[-1,1]\mapsto {\mathbb{R}},\ \ \ \ n\in {{\mathbb{N}}}_{0},\end{eqnarray} können rekursiv durch die Vorschrift begin{eqnarray}\begin{array}{l}{T}_{0}(x)=1,\ \ {T}_{1}(x)=x,\\ {T}_{n}(x)=2x{T}_{n-1}(x)-{T}_{n-2}(x),\ \ n\ge 2,\end{array}\end{eqnarray} festgelegt werden.

Damit gilt \begin{eqnarray}{T}_{n}(x)={2}^{n}{x}^{n}+\ldots,\ \ \ x\in [-1,1],\end{eqnarray} und man berechnet beispielsweise \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{T}_{2}(x)=2{x}^{2}-1,\\ {T}_{3}(x)=4{x}^{3}-3x,\\ {T}_{4}(x)=8{x}^{4}-8{x}^{2}+1,\\ {T}_{5}(x)=16{x}^{5}-20{x}^{3}+5x,\\ {T}_{6}(x)=32{x}^{6}-48{x}^{4}+18{x}^{2}-1.\end{array}\end{eqnarray}

Alternative, direkte Darstellungen der Tschebyschew-Polynome sind gegeben durch \begin{eqnarray}{T}_{n}(x)=\frac{1}{2}({(x+\sqrt{{x}^{2}-1})}^{n}+{(x-\sqrt{{x}^{2}-1})}^{n}),\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{T}_{n}(x)=\cos (n\arccos (x)).\end{eqnarray}

Somit gilt \begin{eqnarray}\max \{|{T}_{n}(x)|:x\in [-1,1]\}=1,\end{eqnarray} und dieses Maximum wird an den Stellen \begin{eqnarray}\cos \left(\frac{(n-i)\pi}{n}\right),\ i=0,\ldots,n,\end{eqnarray} mit alternierendem Vorzeichen angenommen.

In der → L2-Approximation ist die folgende Orthogonalitätseigenschaft der Tschebyschew-Polynome von Bedeutung: \begin{eqnarray}\frac{2}{\pi}\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int}}\frac{{T}_{n}(x){T}_{m}(x)}{\sqrt{1-{x}^{2}}}=\left\{\begin{array}{ll}2: & n=m=0,\\ 1: & n=m\gt 0,\\ 0: & \text{sonst}.\end{array}\right.\end{eqnarray}

Die Tschebyschew-Polynome genügen der Differentialgleichung \begin{eqnarray}(1-{x}^{2}){\left(\frac{d{T}_{n}}{dx}(x)\right)}^{2}={n}^{2}(1-{({T}_{n}(x))}^{2}),\ \ x\in [-1,1].\end{eqnarray}

Gemeinsam mit den Tschebyschew-Polynomen zweiter Art, Un : [−1,1] ↦ ℝ, n ∈ ℕ0, definiert durch die Vorschrift \begin{eqnarray}{U}_{n}(x)=\frac{1}{n+1}\frac{d{T}_{n+1}(x)}{dx},\ \ \ x\in [-1,1],\end{eqnarray} bilden die Tschebyschew-Polynome erster Art Tn ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung \begin{eqnarray}{y}_{n+2}(x)-2x{y}_{n+1}(x)+{y}_{n}(x)=0.\end{eqnarray}

Man berechnet U0(x) = 1, U1(x) = 2x, und erhält beispielsweise durch Rekursion \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{U}_{2}(x)=4{x}^{2}-1,\\ {U}_{3}(x)=8{x}^{3}-4x,\\ {U}_{4}(x)=16{x}^{4}-12{x}^{2}+1,\\ {U}_{5}(x)=32{x}^{5}-32{x}^{3}+6x,\\ {U}_{6}(x)=64{x}^{6}-80{x}^{4}+24{x}^{2}-1.\end{array}\end{eqnarray}

Darüber hinaus gelten die Darstellungen \begin{eqnarray}{U}_{n}(x)=\frac{({(x+\sqrt{{x}^{2}-1})}^{n+1}-{(x-\sqrt{{x}^{2}-1})}^{n+1})}{2\sqrt{{x}^{2}-1}},\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{U}_{n}(X)=\frac{\sin ((n+1)\ \arccos (x))}{\sin (\arccos (x))}.\end{eqnarray}

Tschebyschew-Polynome spielen bei der Herleitung von oberen und unteren Schranken für die Minimalabweichung bei gleichmäßiger polynomialer Approximation eine wichtige Rolle. Hierbei verwendet man für Funktionen mit näher spezifizierten Eigenschaften Reihenentwicklungen der Form \begin{eqnarray}f=\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty}{a}_{v}{T}_{v}.\end{eqnarray}

Eine solche Darstellung nennt man eine Tschebyschew-Entwicklung.

[1] Meinardus, G.: Approximation of Functions: Theory and Numerical Methods. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1967.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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