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Lexikon der Mathematik: Tschebyschew-Splines

verallgemeinerte Splinefunktionen, welche stückweise von erweiterten vollständigen Tschebyschew-Systemen aufgespannt werden.

Es seien Δ = {a = x0 < x1 < … < xk < xk+1} eine Knotenmenge, m eine natürliche Zahl, M = (m1,, …, mk) ein Vektor natürlicher Zahlen mit 1 ≤ mim, und der Raum \({{\mathcal{P}}}_{m}\) aufgespannt von einem m-dimensionalen erweiterten vollständigen Tschebyschew-System.

Dann heißt \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{\mathcal{S}}({{\mathcal{P}}}_{m},M,{\rm{\Delta}})=\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \{s:[a,b]\mapsto {\mathbb{R}}:\text{es}\ \text{gibt}\ {s}_{0},\ldots,{s}_{k}\in {{\mathcal{P}}}_{m},\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{so}\ \text{da}\unicode{x000DF}\ s{|}_{({x}_{i},{x}_{i+1})}={s}_{i},\ \ i=0,\ldots,k,\ \ \text{und}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {s}_{i-1}^{(j-1)}({x}_{i})={s}_{i}^{(j-1)}({x}_{i}),\ \ j=1,\ldots,m-{m}_{i},\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i=1,\ldots,k\}\end{array}\end{eqnarray}

Raum der Tschebyschew-Splines mit Knoten x1, …, xk der jeweiligen Vielfachheiten m1, …, mk.

Tschebyschew-Splines bilden somit eine natürliche Verallgemeinerung der polynomialen Splines, denn Polynome (das heißt \({{\mathcal{P}}}_{m}=\text{span}\{{x}^{l}:l=0,\ldots,m-1\}\)) bilden ein erweitertes vollständiges Tschebyschew-System. Ein weiteres Beispiel für Tschebyschew-Splines sind exponentiellen Splines (Exponentialsplines). Diese erhält man durch Verwendung des erweiterten vollständigen Tschebyschew-Systems \begin{eqnarray}{{\mathcal{P}}}_{m}=\text{span}\{{e}^{{\alpha}_{1}x},\ldots,{e}^{{\alpha}_{m}x}\},\end{eqnarray} wobei α1 < α2 < … < αm. Die Anzahl der freien Parameter der Tschebyschew-Splines ist \begin{eqnarray}m+\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{m}_{i}.\end{eqnarray}

Die Theorie der Tschebyschew-Splines wurde in wesentlichen Grundzügen analog der Theorie der polynomialen Splines entwickelt. So lassen sich für Tschebyschew-Splines B-Splines konstruieren, es gelten Sätze hinsichtlich der variationsvermindernden Eigenschaft von Tschebyschew-Splines, und hinsichtlich der Anzahl von Nullstellen von Tschebyschew-Splines gelten ähnliche Resultate wie in der Theorie polynomialer Splines.

Hieraus lassen sich Charakterisierungen vom Schoenberg-Whitney-Typ für Interpolation mit Tschebyschew-Splines ableiten. Darüber hinaus existieren ähnliche Aussagen hinsichtlich der Approximationsgüte von Tschebyschew-Splines wie in der Theorie polynomialer Splines.

[1] Schumaker, L.L.: Spline Functions: Basic Theory. John Wiley and Sons, 1981.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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