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Lexikon der Mathematik: Turnier

eine Orientierung des vollständigen Graphen Kn, im allgemeinen mit Tn bezeichnet.

Den Ausgang eines Wettkampfes von n Teams, von denen jedes genau einmal gegen jedes andere gespielt hat, und bei dem ein Unentschieden ausgeschlossen ist (z. B. ein Volleyballturnier), kann man durch ein Turnier Tn darstellen.

Nach einem klassischen Resultat von L. Redei (1934) besitzt jedes Turnier eine ungerade Anzahl von gerichteten Hamiltonschen Wegen. Insbesondere existiert daher in jedem Turnier mindesten ein gerichteter Hamiltonscher Weg. Erst 25 Jahre später bewies P. Camion, daß jedes stark zusammenhängende Turnier sogar Hamiltonsch ist. Dieses Ergebnis wurde dann 1966 von J.W. Moon durch folgenden Satz erheblich erweitert.

Jede Ecke eines stark zusammenhängenden Turniers Tn liegt auf einem gerichteten Kreis der Länge p für alle p mit 3 ≤ pn.

Es seien x1, x2,…, xn die Ecken eines Turniers Tn. Setzen wir \({d}_{{T}_{n}}^{+}({x}_{i})={s}_{i}\) für alle i = 1, 2,…,n, so gelte ohne Beschränkung der Allgemeinheit \begin{eqnarray}{s}_{1}\le {s}_{2}\le \cdots \le {s}_{n}.\end{eqnarray}

Aus dem Handschlaglemma folgt leicht, daß dann notwendig \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{i=1}^{p}\ge \frac{p(p-1)}{2}\end{eqnarray} für alle p = 1, 2,…, n gelten muß.

Umgekehrt hat H.G. Landau 1953 mittels eines schwierigen Beweises gezeigt, daß jede Sequenz ganzer Zahlen mit \begin{eqnarray}0\le {s}_{1}\le {s}_{2}\le \cdots \le {s}_{n}\le n-1,\end{eqnarray} die obige Ungleichungen erfüllt, tatsächlich durch ein Turnier Tn realisiert werden kann, so daß \({d}_{{T}_{n}}^{+}({x}_{i})={s}_{i}\) für alle i = 1, 2,…, n gilt.

Für reguläre Turniere Tn, die notwendig eine ungerade Anzahl von Ecken n = 2q+1 besitzen müssen, existiert die seit mehr als 30 Jahren ungelöste Vermutung von P. Kelly:

Jedes reguläre Turnier T2q+1 läßt sich in q gerichtete Hamiltonsche Kreise zerlegen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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