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Lexikon der Mathematik: Typ und Kotyp eines Banachraums

Konzept der lokalen Banachraumtheorie.

Sei (ϵn) eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen mit ℙ(ϵn = 1) = ℙ(ϵn = −1) = 1/2; die ϵn können also als unabhängige zufällige Vorzeichen interpretiert werden.

Ein Banachraum hat Typ p, 1 ≤ p ≤ 2, falls eine Konstante Tp < ∞ mit \begin{eqnarray}{\mathbb{E}}\bigg\Vert \displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\varepsilon}_{k}{x}_{k}\bigg\Vert \le {T}_{p}{\left(\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\Vert {x}_{k}\Vert}^{p}\right)}^{1/p}\end{eqnarray} für alle endlichen Folgen (x1, …, xn) ⊂ X existiert. Analog hat ein Banachraum Kotyp q, 2 ≤ q < ∞, falls es eine Konstante Cq > 0 mit \begin{eqnarray}{\mathbb{E}}\bigg\Vert \displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\varepsilon}_{k}{x}_{k}\bigg\Vert \le {C}_{q}{\left(\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\Vert {x}_{k}\Vert}^{q}\right)}^{1/q}\end{eqnarray} für alle endlichen Folgen (x1, …,xn) ⊂ X gibt.

Nach der Ungleichung von Chinčin-Kahane kann man den Erwartungswert auf der linken Seite auch durch höhere Momente ersetzen. Jeder Banachraum hat Typ 1.

Seien \begin{eqnarray}{p}_{X}=\sup \{p:X\ {\rm{hat}}\ {\rm{Typ}}\ p\}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{q}_{X}=\inf \{q:X\ {\rm{hat}}\ {\rm{Kotyp}}\ q\}.\end{eqnarray}

Für X = Lr ist pX = min{r, 2} und qX = max{r, 2}, und Lr hat sogar diesen Typ bzw. Kotyp. Insbesondere hat ein Hilbertraum den optimalen Typ 2 und den optimalen Kotyp 2. Der Satz von Kwapień besagt die Umkehrung dieses Sachverhalts:

Hat ein Banachraum sowohl den Typ 2 als auch den Kotyp 2, so ist er isomorph zu einem Hilbertraum.

Ein fundamentales Resultat der lokalen Banach- raumtheorie ist der Satz von Maurey-Pisier:

pX und ℓqX sind stets in X endlich darstellbar (endliche Darstellbarkeit von Banachräumen).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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