Bezeichnung fur einen Punkt x einer Hyperflache Mⁿ ⊂ ℝⁿ⁺¹, in dem die Hauptkrümmungen von M zusammenfallen.

In der klassischen, zweidimensionalen Flächentheorie folgt für die Hauptkrümmungen k₁, k₂ und die Gaußsche Krümmung K die Identität \({k}_{1}={k}_{2}=\sqrt{K}\).

Führt man für die mittlere Krümmung H der Fläche nun noch das Funktional \begin{eqnarray}E:{\bf{M}}\to {\mathbb{R}},\ E(x)={H}^{2}(x)-K(x)\end{eqnarray} ein, so sind die umbilischen Punkte gerade die globalen Minima von E auf M.

Im ℝⁿ⁺¹ sind die isometrischen Einbettungen von Hypersphären und Hyperebenen die einzigen vollständigen zusammenhängenden Untermannigfaltigkeiten, die ausschließlich aus umbilischen Punkten bestehen.