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Lexikon der Mathematik: UMD-Raum

ein Banachraum, in dem Martingaldifferenzen unbedingt konvergente Reihen bilden.

Es seien X ein Banachraum und M1, M2, … ein X-wertiges Martingal auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω. Die Martingaldifferenzfolge (dn) ist durch dn = MnMn−1 (wobei M0 = 0) erklärt.

Der Banachraum X heißt UMD-Raum, falls für jedes 1 < p < ∞ (oder auch nur für p = 2) eine Konstante cp existiert, so daß für jede Martingaldifferenzfolge die Abschätzung \begin{eqnarray}\mathop{\sup}\limits_{\begin{array}{c}n\\ {\varepsilon}_{k}=\pm 1\end{array}}{\bigg\Vert \displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\varepsilon}_{k}{d}_{k}\bigg\Vert}_{{L}^{p}({\rm{\Omega}},X)}\le {c}_{p}\mathop{\sup}\limits_{n}{\bigg\Vert \displaystyle \sum _{k=1}^{n}{d}_{k}\bigg\Vert}_{{L}^{p}({\rm{\Omega}},X)}\end{eqnarray} gilt. Äquivalent dazu ist, daß für Lp -beschränkte Martingale die Reihe \(\displaystyle {\sum}_{k=1}^{\infty}{d}_{k}\) in Lp(Ω, X) unbedingt konvergiert.

Die Räume Lr(μ) sind für 1 < r < ∞ UMD-Räume, und jeder UMD-Raum ist superreflexiv und insbesondere reflexiv. Auf UMD-Räumen sind diverse vektorwertige singuläre Integraloperatoren, z. B. die vektorwertige Hilbert-Transformation, stetig.

UMD-Räume können nach Burkholder folgendermaßen geometrisch charakterisiert werden: Genau dann ist X ein UMD-Raum, wenn es eine bikonvexe und symmetrische Funktion ζ : X × X → ℝ mit ζ(0, 0) > 0 und ζ(x,y) ≤ ∥x + y∥ für ∥x∥ ≤ 1 ≥ ∥y∥ gibt. Auf einem Hilbertraum erfüllt \begin{eqnarray}\zeta (x,y)=1+\mathrm{Re}\langle x,y\rangle \end{eqnarray} diese Forderungen.

[1] G. Letta; M. Pratelli (Hg.): Probability and Analysis. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1986.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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