Lexikon der Mathematik: UMD-Raum
ein Banachraum, in dem Martingaldifferenzen unbedingt konvergente Reihen bilden.
Es seien X ein Banachraum und M1, M2, … ein X-wertiges Martingal auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω. Die Martingaldifferenzfolge (dn) ist durch dn = Mn − Mn−1 (wobei M0 = 0) erklärt.
Der Banachraum X heißt UMD-Raum, falls für jedes 1 < p < ∞ (oder auch nur für p = 2) eine Konstante cp existiert, so daß für jede Martingaldifferenzfolge die Abschätzung
Die Räume Lr(μ) sind für 1 < r < ∞ UMD-Räume, und jeder UMD-Raum ist superreflexiv und insbesondere reflexiv. Auf UMD-Räumen sind diverse vektorwertige singuläre Integraloperatoren, z. B. die vektorwertige Hilbert-Transformation, stetig.
UMD-Räume können nach Burkholder folgendermaßen geometrisch charakterisiert werden: Genau dann ist X ein UMD-Raum, wenn es eine bikonvexe und symmetrische Funktion ζ : X × X → ℝ mit ζ(0, 0) > 0 und ζ(x,y) ≤ ∥x + y∥ für ∥x∥ ≤ 1 ≥ ∥y∥ gibt. Auf einem Hilbertraum erfüllt
[1] G. Letta; M. Pratelli (Hg.): Probability and Analysis. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1986.
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