Bogenlänge der gesamten Ellipse.

Für eine Ellipse mit der Länge 2a der Hauptachse und der Länge 2b der Nebenachse wird der Umfang durch das Integral \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}U & = & 4\cdot \displaystyle \underset{0}{\overset{\frac{\pi}{2}}{\int}}\sqrt{{a}^{2}{\cos}^{2}t+{b}^{2}{\sin}^{2}t}\ dt\\ & = & 2\pi a\left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}{e}^{2}-\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{{e}^{4}}{3}-\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{{e}^{6}}{5}-\ldots \right]\end{array}\end{eqnarray} gegeben. Eine Näherungslösung für dieses Integral (und damit für den zu bestimmenden Umfang) ist \begin{eqnarray}U\approx \pi \cdot \left(3\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\right).\end{eqnarray}