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Lexikon der Mathematik: Umkreis

Kreis, der durch alle drei Eckpunkte eines gegebenen Dreiecks ΔABC verläuft.

Der Mittelpunkt dieses Kreises muß daher von allen drei Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt sein und ergibt sich als Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks ΔABC. Somit ist es möglich, den Umkreis mit Hilfe der Mittelsenkrechten mittels Zirkel und Lineal zu konstruieren.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Umkreis
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Für den Radius des Umkreises eines Dreiecks ΔABC gilt \begin{eqnarray}r=\frac{abc}{4A}=\frac{bc}{2{h}_{a}},\end{eqnarray} wobei A der Flächeninhalt und ha die Länge der Höhe über der Dreieckseite a ist.

Da durch drei Punkte ein Kreis eindeutig festgelegt wird, besitzen Vier- und n–Ecke (mit n > 4) nur in Ausnahmefällen einen Umkreis. Bei den Vierecken trifft dies auf die Sehnenvierecke (insbesondere also auf alle Rechtecke) und bei den n-Ecken u. a. auf die regelmäßigen Vielecke zu.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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