Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Umlaufzahl

Begriff aus der Funktionentheorie.

Die Umlaufzahl eines rektifizierbaren geschlossenen Weges γ in ℂ bezüglich eines Punktes z ∈ ℂ,

der nicht auf γ liegt, ist definiert durch \begin{eqnarray}{{\rm{ind}}}_{\gamma}(z):=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{\gamma}\frac{d\zeta}{\zeta -z}.\end{eqnarray}

Es gilt stets indγ (z) ∈ ℤ. Man nennt indγ (z) auch Indexfunktion.

Anschaulich gibt indγ (z) an, wie oft der Weg γ den Punkt z umläuft. Ist beispielsweise B eine offene Kreisscheibe und γ die genau einmal gegen den Urzeigersinn (also in positivem Umlaufsinn) durchlaufene Kreislinie ∂B, so gilt \begin{eqnarray}{{\rm{ind}}}_{\gamma}(z)=\bigg\{\begin{array}{ll}1 & \,\text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r}\,\ z\in B,\\ 0 & \,\text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r}\,\ z\in {\mathbb{C}}\backslash \overline{B}.\end{array}\end{eqnarray}

Wird ∂B genau k-mal (k ∈ ℕ) gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen, so gilt \begin{eqnarray}{{\rm{ind}}}_{\gamma}(z)=\bigg\{\begin{array}{ll}k & \,\text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r}\,\ z\in B,\\ 0 & \,\text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r}\,\ z\in {\mathbb{C}}\backslash \overline{B}.\end{array}\end{eqnarray}

Durchläuft man hingegen ∂B genau k-mal im Uhrzeigersinn, so gilt \begin{eqnarray}{{\rm{ind}}}_{\gamma}(z)=\bigg\{\begin{array}{ll}-k & \,\text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r}\,\ z\in B,\\ 0 & \,\text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r}\,\ z\in {\mathbb{C}}\backslash \overline{B}.\end{array}\end{eqnarray}

Die Funktion indγ(z) ist lokal konstant, d.h. zu jeder Zusammenhangskomponente U von ℂ \ γ gibt es eine Konstante ku ∈ Z mit indγ (z) = kU für alle zU. Man beachte, daß ℂ \ γ viele Zusammenhangskomponenten besitzen kann, sofern der Weg γ Überschneidungen enthält. Für die unbeschränkte Zusammenhangskomponente U von ℂ \ γ gilt stets \({k}_{{U}_{\infty}}=0\).

Es seien γ und \(\tilde{\gamma}\) geschlossene Wege mit demselben Anfangspunkt, d. h. es existieren Parameterdarstellungen γ : [a, b] → ℂ und \(\tilde{\gamma}:[\tilde{a},\ \tilde{b}]\to {\mathbb{C}}\) mit \(\gamma (a)=\tilde{\gamma}(\tilde{a})\). Dann ist der Summenweg \begin{eqnarray}\gamma +\tilde{\gamma}:[a,\tilde{b}-\tilde{a}+b]\to {\mathbb{C}}\end{eqnarray} definiert durch \begin{eqnarray}(\gamma +\tilde{\gamma})(t):=\bigg\{\begin{array}{cl}\gamma (t) & \,\text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r}\,\ t\in [a,b],\\ \tilde{\gamma}(t+\tilde{a}-b) & \,\text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r}\,\ t\in (b,\tilde{b}-\tilde{a}+b].\end{array}\end{eqnarray}

Weiter ist der Umkehrweg − γ : [a, b] → ℂ definiert durch (−γ)(t) ≔ γ(a + bt). Dann gilt für die Umlaufzahlen \begin{eqnarray}{{\rm{ind}}}_{\gamma +\tilde{\gamma}}(z)={{\rm{ind}}}_{\gamma}(z)+{{\rm{ind}}}_{\tilde{\gamma}}(z),\ z\in {\mathbb{C}}\backslash (\gamma \cup \tilde{\gamma})\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{{\rm{ind}}}_{-\gamma}(z)=-{{\rm{ind}}}_{\gamma}(z),\ z\in {\mathbb{C}}\backslash \gamma.\end{eqnarray}

Allgemeiner kann die Umlaufzahl auch für Zyklen definiert werden. Hierzu wird auf dieses Stichwort verwiesen.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnerinhalte