Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Umordnung einer Reihe

eine Reihe \(\displaystyle {\sum}_{n=1}^{\infty}{b}_{n}\) zu einer gegebenen Reihe \(\displaystyle {\sum}_{n=1}^{\infty}{a}_{n}\), wenn die Folge (bn) aus (an) durch Umordnung entsteht, d. h. bn = aω(n) (n ∈ ℕ) mit einer geeigneten bijektiven Abbildung ω : ℕ → ℕ gilt. Hierbei können die Glieder der Reihe etwa aus einem Banachraum sein, speziell also reelle oder komplexe Zahlen. Eine Reihe, bei der jede Umordnung – insbesondere die Reihe selbst – konvergent mit gleichem Reihenwert ist, heißt unbedingt konvergent. Eine konvergente Reihe, die nicht unbedingt konvergent ist, heißt bedingt konvergent.

Bei endlichen Summen kann man die Summanden beliebig umordnen, ohne daß sich die Summe ändert. Bei Reihen reeller oder komplexer Zahlen gilt dies genau dann, wenn die Reihe absolut konvergent ist. Diese sind also genau dann unbedingt konvergent, wenn sie absolut konvergent sind.

Wichtige Aussagen zu Umordnungen von Reihen machen der Umordnungssatz von Riemann (Riemann, Umordnungssatz von), der Satz von Steinitz (Steinitz, Satz von), der Satz von Dvoretzky-Rogers (Dvoretzky-Rogers, Satz von) und der große Umordnungssatz.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos