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Lexikon der Mathematik: unabhängige Menge

spezielle Teilmenge eines kettenendlichen halbmodularen Verbandes.

Sei L ein kettenendlicher halbmodularer Verband, AL und bA. Man sagt, b sei abhängig von A, falls b ≤ sup(A). Die Menge A heißt unabhängige Menge, falls \begin{eqnarray}a\,\rlap{/}{\mathop{\lt}\limits_{=}}\,\sup\, (A-\{a\})\end{eqnarray} für alle aA gilt, andernfalls abhängige Menge.

In jedem kettenendlichen halbmodularen Verband gilt:

  1. Jede Teilmenge einer unabhängigen Menge ist unabhängig.
  2. Jede unabhängige Menge ist endlich.

Für unabhängige Mengen gilt folgender Basissatz:

Sei L ein kettenendlicher halbmodularer Verband mit Punktmenge S und A ⊆ S.

Dann haben alle maximalen unabhängigen Teilmengen B von A die gleiche Mächitgkeit, nämlich r(sup(A)), wobei r die Rangfunktion für L ist. (Die Menge B heißt eine Basis für A). Jede unabhängige Teilmenge von A kann zu einer Basis von A erweitert werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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