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Lexikon der Mathematik: Unabhängigkeit von Aussagen

Eigenschaft einer Menge ∑ von Aussagen oder logischen Ausdrücken eines logischen Kalküls (siehe auch logische Abhängigkeit).

Ist ϕ eine Aussage oder ein Ausdruck des Kalküls, dann ist ϕ von ∑ unabhängig, wenn weder ϕ noch die Negation ¬ϕ von ϕ aus ∑ ableitbar sind (logisches Ableiten). In diesem Fall heißt ϕ syntaktisch unabhängig von ∑.

Wenn weder ϕ noch ¬ϕ aus ∑ folgen (logisches Folgern), dann heißt ϕ semantisch unabhängig von ∑. Aufgrund des Gödelschen Vollständigkeitssatzes stimmen syntaktische und semantische Unabhängigkeit überein. Die Menge ∑ ist unabhängig, wenn kein Ausdruck ψ ∈ ∑ aus der Differenzmenge ∑ \ {ψ} ableitbar ist bzw. folgt. Zu jeder Menge ∑ von Ausdrücken gibt es eine unabhängige Teilmenge ∑0 ⊆ ∑, so daß ∑0 zu ∑ äquivalent ist, d.h., aus ∑0 und aus ∑ sind die gleichen Ausdrücke herleitbar.

Unabhängigkeit ist eine Eigenschaft, die insbesondere bei Axiomensystemen angestrebt wird, um unnütze Axiome zu vermeiden.

Siehe auch Axiomatische Mengenlehre.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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