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Lexikon der Mathematik: Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen, wichtiges Konzept der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Eine Familie (Xi)iI von auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega}},\ {\mathfrak{A}},\ P)\) definierten Zufallsvariablen mit möglicherweise verschiedenen Wertebereichen heißt (stochastisch) unabhängig, wenn die Familie (σ(Xi))iI der von ihnen erzeugten σ-Algebren unabhängig ist. Die Indexmenge I ist dabei beliebig. Im Fall I = {1, …, n} bzw. I = ℕ spricht man von den unabhängigen Zufallsvariablen X1, …,Xn bzw. der unabhängigen Folge (Xn)n≥1. Bezeichnet \(({{\rm{\Omega}}}_{i},\ {{\mathfrak{A}}}_{i})\) für jedes iI den Bildraum von Xi, so bedeutet die Unabhängigkeit der Familie (Xi)iI konkret, daß für jede nicht leere, endliche Teilmenge {i1, …,in} von I und beliebige \({A}_{{i}_{j}}\in {{\mathfrak{A}}}_{i}{}_{{}_{j}}\), j = 1, …, n, die Beziehung \begin{eqnarray}\begin{array}{l}P({X}_{{i}_{1}}\in {A}_{{i}_{1}},\ldots,{X}_{{i}_{n}}\in {A}_{{i}_{n}})\\ \ \quad =P({X}_{{i}_{1}}\in {A}_{{i}_{1}})\cdots P({X}_{{i}_{n}}\in {A}_{{i}_{n}})\end{array}\end{eqnarray} gilt. Im Falle endlich vieler Zufallsvariablen X1, …,Xn ist die Unabhängigkeit zur Bedingung P(X1A1, …,XnAn) = P(X1A1)…..P(XnAn) für alle \({A}_{{i}_{j}}\in {{\mathfrak{A}}}_{i}{}_{{}_{j}}\), i = 1, …,n, äquivalent, und speziell für diskrete Zufallsvariablen zu P(X1 = x1, …,Xn = xn) = P(X1 = x1)· … · P(Xn = xn) für alle Elemente xi aus den Wertebereichen der Xi, i = 1, …,n.

Eine Familie (Xi)iI ist überdies genau dann unabhängig, wenn die Verteilung von (Xi)iI, aufgefaßt als auf \(({\rm{\Omega}},\ {\mathfrak{A}},\ P)\) definierte Zufallsvariable mit Werten in dem Produktraum \(({\displaystyle {\prod}_{i\in I}{{\rm{\Omega}}}_{i},\otimes}_{i\in I}{{\mathfrak{A}}}_{i})\), gleich dem Produktmaß der Verteilungen \({P}_{{X}_{i}}\) der Xi ist. Für I = {1, …,n} heißt das konkret, wenn für die gemeinsame Verteilung \({P}_{{X}_{1}},\ldots,{X}_{n}\) gilt: \({P}_{{X}_{1}}{}_{,\ldots,{X}_{n}}={P}_{{X}_{1}}\otimes \ldots \otimes {P}_{{X}_{n}}\). Sind die reellen Zufallsvariablen X1, …, Xn stetig mit Dichten \({f}_{{X}_{1}},\ldots,{f}_{{X}_{n}}\), so ist ihre Unabhängigkeit auch zur Aussage äquivalent, daß \({f}_{{X}_{1},\ldots,{X}_{n}}({x}_{1},\ldots,{x}_{n})={f}_{X}{}_{{}_{1}}({x}_{1})\cdot \ldots \cdot {f}_{{X}_{n}}({x}_{n}),{x}_{1},\ldots,{x}_{n}\in {\mathbb{R}}\), die gemeinsame Dichte von X1, …,Xn ist. Weiterhin ist zu bemerken, daß sich die Unabhängigkeit einer Familie (Xi)iI von Zufallsvariablen mit Werten in den meßbaren Räumen \(({{\rm{\Omega}}}_{i},\ {{\mathfrak{A}}}_{i})\) überträgt, wenn man die Xi meßbar transformiert. Ist etwa (Xi)iI unabhängig und \({f}_{i}:({{\rm{\Omega}}}_{i},\ {{\mathfrak{A}}}_{i})\to ({{\rm{\Omega}}}_{i}^{\prime},\ {{\mathfrak{A}}}_{i}^{\prime})\) für jedes iI eine meßbare Abbildung, so ist auch die Familie (fiXi)iI der Kompositionen unabhängig.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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