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Lexikon der Mathematik: unbedingte Konvergenz

das Phänomen, daß jede Umordnung einer konvergenten Reihe ebenfalls konvergiert.

Sei ∑nxn eine Reihe reeller oder komplexer Zahlen, bzw. allgemeiner eine Reihe von Elementen eines Banachraums. Ist π : ℕ → ℕ eine Permutation, also eine Bijektion von ℕ, so heißt die Reihe ∑nxπ(n) eine Umordnung von ∑nxn. Die Reihe ∑nxn heißt unbedingt konvergent, wenn alle Umordnungen konvergieren; in diesem Fall besitzen alle Umordnungen denselben Grenzwert. Hingegen heißt die Reihe absolut konvergent, wenn ∑n|xn| < ∞ ist (bzw. ∑nxn∥ < ∞ im Fall einer Reihe in einem Banachraum).

Eine Reihe ∑nxn in einem Banachraum konvergiert genau dann unbedingt, wenn es zu jedem ϵ > 0 eine endliche Menge F0 ⊂ ℕ mit ∥∑nFxn∥ < ϵ für alle endlichen Mengen F mit FF0 = ∅ gibt.

Weitere Äquivalenzen sind, daß jede Teilreihe \({\displaystyle {\sum}_{n}{x}_{n}}_{k}\) konvergiert, oder daß für alle Vorzeichen ϵn = ±1 die Reihe ∑nϵnxn konvergiert. Ein wichtiges Kriterium für die unbedingte Konvergenz liefert der Satz von Bessaga-Pelczyński: Falls X keinen zu c0 isomorphen abgeschlossenen Unterraum besitzt und \(\displaystyle {\sum}_{n=1}^{\infty}|x^{\prime} ({x}_{n})|\lt \infty \) für alle Funktionale x′ ∈ X′ ist, konvergiert \(\displaystyle {\sum}_{n=1}^{\infty}{x}_{n}\) unbedingt in X.

Die Bedeutung des Konzepts der unbedingten Konvergenz rührt zum Teil daher, daß es bei der Entwicklung von Funktionen nach SchauderBasen häufig keine natürliche Anordnung der Basisfunktionen gibt, etwa bei Waveletbasen; dasselbe gilt bei der Multiplikation reeller oder komplexer Reihen (Cauchy-Produkt).

Siehe auch Umordnung einer Reihe.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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