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Lexikon der Mathematik: unendliches Produkt

zu einer Folge (av) reeller oder komplexer Zahlen die durch \begin{eqnarray}{p}_{n}:=\displaystyle \prod _{v=1}^{n}{a}_{v}\ (n\in {\mathbb{N}}),\end{eqnarray} definierte Folge p ≔ (pn) der Partialprodukte pn. Statt p notiert man entsprechend wie bei Reihen, wenn auch mißverständlich, meist \begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{v=1}^{\infty}{a}_{v}.\end{eqnarray}

Das unendliche Produkt \(\displaystyle {\prod}_{v=1}^{\infty}{a}_{v}\) heißt genau dann konvergent, wenn \begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{v=n}^{m}{a}_{v}\to 1\ (n,m\to \infty),\end{eqnarray} d.h. \begin{eqnarray}\forall \varepsilon \gt 0\exists N\in {\mathbb{N}}\ \forall m\gt n\ge N|\displaystyle \prod _{v=n}^{m}{a}_{v}-1|\lt \varepsilon.\end{eqnarray}

Würde man, was auf den ersten Blick naheliegend scheint, analog der Situation bei Reihen ein unendliches Produkt konvergent nennen, wenn die Folge der Partialprodukte einen Grenzwert hat, so erhielte man unerwünschte Pathologien: Ein Produkt wäre stets konvergent, wenn auch nur ein einziges Glied Null wäre. Zudem könnte ein Produkt auch dann Null werden, wenn kein einziger Faktor Null ist (z.B. \({a}_{v}=\frac{1}{v}\)).

Man hat die folgenden Konvergenzkriterien für unendliche Produkte:

Ist \(\displaystyle {\prod}_{v=1}^{\infty}{a}_{v}\)konvergent, so gelten:

a) an → 1 (n → ∞)

b) \(\left(\displaystyle \prod _{v=1}^{n}{a}_{v}\right)\)ist konvergent.

Man setzt in diesem Fall auch \begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{v=1}^{\infty}{a}_{v}:=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty}\displaystyle \prod _{v=1}^{n}{a}_{v}.\end{eqnarray}

Die verbreitete Doppelbezeichnung – \(\displaystyle {\prod}_{v=1}^{\infty}{a}_{v}\) für die Folge der Produkte und auch (gegebenenfalls) fur den Grenzwert – ist durch das entsprechende Vorgehen bei Reihen meist vertraut. Weiter erhält man recht einfach:

c) Ist \(\displaystyle {\prod}_{v=1}^{\infty}{a}_{v}\)konvergent, so folgt \begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{v=1}^{\infty}{a}_{v}=0\iff \exists v\in {\mathbb{N}}\ {a}_{v}=0.\end{eqnarray}

d) Sind alle av aus ℂ \ (−∞, 0], so gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{v=1}^{\infty}{a}_{v}\ konvergent\iff \displaystyle \sum _{v=1}^{\infty}{\rm{Log}}\ {a}_{v}\ konvergent.\end{eqnarray}

Hierbei bezeichnet Log den Hauptzweig des Logarithmus auf ℂ \ (−∞, 0].

Da in einem konvergenten unendlichen Produkt die Glieder av gegen 1 streben, setzt man oft \begin{eqnarray}{a}_{v}=:1+{b}_{v}\ (v\in {\mathbb{N}}).\end{eqnarray}

Ein unendliches Produkt \(\displaystyle {\prod}_{v=1}^{\infty}(1+{b}_{v})\) heißt genau dann absolut konvergent, wenn \(\displaystyle {\prod}_{v=1}^{\infty}(1+|{b}_{v}|)\) konvergiert. Die Abschätzung \begin{eqnarray}\frac{1}{2}|{b}_{v}|\le \mathrm{log}(1+|{b}_{v}|)\le |{b}_{v}|\end{eqnarray} für |bv| < 1 zeigt:

e) \(\displaystyle {\prod}_{v=1}^{\infty}(1+{b}_{v})\)ist genau dann absolut konvergent, wenn \(\displaystyle {\sum}_{v=1}^{\infty}{b}_{v}\)absolut konvergent ist. In diesem Fall ist jede Umordnung, also insbesondere \(\displaystyle {\prod}_{v=1}^{\infty}(1+{b}_{v})\)selbst, konvergent: Für jede bijektive Abbildung ω : ℕ → ℕ ist \(\displaystyle {\prod}_{v=1}^{\infty}(1+{b}_{\omega (v)})\)konvergent mit \begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{v=1}^{\infty}(1+{b}_{\omega (v)})=\displaystyle \prod _{v=1}^{\infty}(1+{b}_{v}).\end{eqnarray}

Wichtige Beispiele von unendlichen Produkten sind etwa die Darstellung der Eulerschen Γ-Funktion nach Liouville (1852) (oft Weierstraß (1876) zugeschrieben) \begin{eqnarray}\frac{1}{{\rm{\Gamma}}(x)}=x\ \exp (\gamma x)\displaystyle \prod _{v=1}^{\infty}\left[\left(1+\frac{x}{v}\right)\exp (-\frac{x}{v})\right]\end{eqnarray} (für z ∈ ℂ \ {−ℕ0}), die Produktdarstellung des Sinus (Euler, 1734) \begin{eqnarray}\sin z=z\displaystyle \prod _{v=1}^{\infty}\left(1-\frac{{z}^{2}}{{\pi}^{2}{v}^{2}}\right)\ (z\in {\mathbb{C}})\end{eqnarray} und daraus speziell für \(z=\frac{\pi}{2}\) die Produktformel von Wallis (1655) \begin{eqnarray}\frac{2}{\pi}=\displaystyle \prod _{v=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{{(2v)}^{2}}\right)=\displaystyle \prod _{v=1}^{\infty}\frac{(2v-1)(2v+1)}{2v\cdot 2v}.\end{eqnarray}

Erstmals trat ein unendliches Produkt wohl in der Produktformel von Vieta \begin{eqnarray}\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdot \cdots \end{eqnarray} auf, die François Viète 1579 mit trigonometrischen Überlegungen begründete.

Zentrale Sätze zu unendlichen Produkten in der Funktionentheorie sind der Produktsatz von Weierstraß (Weierstraß, Produktsatz von) und der Hadamardsche Faktorisierungssatz zur Darstellung ganzer Funktionen.

Hat man für ein Intervall D in ℝ Funktionen uv : D → ℝ, und für xTD \begin{eqnarray}F(x):=\displaystyle \prod _{v=1}^{\infty}(1+{u}_{v}(x))\ {\rm{konvergent}},\end{eqnarray} so sagt man auch, F werde in T durch das Produkt dargestellt. Die Übertragung von Eigenschaften von uv auf F gelingt – wie bei Reihen von Funktionen – bei gleichmäßiger Konvergenz: Dabei heißt \(\displaystyle {\prod}_{v=1}^{\infty}(1+{u}_{v}(x))\) genau dann in T gleichmäßig konvergent, wenn gilt \begin{eqnarray}\forall \varepsilon \gt 0\ \exists N\in {\mathbb{N}}\ \forall m\gt n\ge N\ \forall x\in T\\ \ \bigg|\displaystyle \prod _{v=n}^{m}(1+{u}_{v}(x))-1\bigg|\lt \varepsilon.\end{eqnarray}

Sind in T alle uv stetig, und ist \(\displaystyle {\sum}_{v=1}^{\infty}|{u}_{v}(x)|\)gleichmäßig konvergent, dann ist \(\displaystyle {\prod}_{v=1}^{\infty}(1+{u}_{v}(x))\)dort gleichmäßig konvergent, und die dargestellte Funktion F ist stetig.

Sind in der offenen Menge T die uv differenzierbar und \(\displaystyle {\sum}_{v=1}^{\infty}|{u}_{v}(x)|\)sowie \(\underset{v=1}{\overset{\infty}{\displaystyle \sum}}|{u}_{v}^{\prime}(x)|\)gleich mäßig konvergent, so ist die dargestellte Funktion F differenzierbar, und für xT mit F(x) ≠ 0 gilt \begin{eqnarray}\frac{{F}^{\prime}(x)}{F(x)}=\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty}\frac{{u}_{v}^{\prime}(x)}{1+{u}_{v}(x)}\end{eqnarray} (logarithmische Ableitung eines unendlichen Produktes).

Die gleichmäßige Konvergenz der Reihen wird dabei in der Regel über das Majorantenkriterium von Weierstraß erschlossen. Die entsprechende Aussage in der Funktionentheorie ist, glatter‘, da man die (lokal) gleichmäßige Konvergenz für die Ableitungen automatisch erhält:

Sind in einem Gebiet T Funktionen uv holomorph und \(\displaystyle {\sum}_{v=1}^{\infty}|{u}_{v}(x)|\) (lokal) gleichmäßig konvergent, so ist die dargestellte Funktion F holomorph, und für xT mit F(x) ≠ 0 gilt \begin{eqnarray}\frac{{F}^{\prime}(x)}{F(x)}=\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty}\frac{{u}_{v}^{\prime}(x)}{1+{u}_{v}(x)}.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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