neben der trivialen Ungleichung \begin{eqnarray}\mathrm{lim}\ \inf {a}_{n}\le \mathrm{lim}\ \sup {a}_{n}\end{eqnarray} für reellwertige Folgen (a_n) die Ungleichung \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\mathrm{lim}\ \inf \frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}} & \le & \mathrm{lim}\ \inf \sqrt[n]{{a}_{n}}\\ & \le & \mathrm{lim}\ \sup \sqrt[n]{{a}_{n}}\\ & \le & \mathrm{lim}\ \sup \frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}\end{array}\end{eqnarray} von a_n zu a_n+1/a_n zu beweisende Ungleichung \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\mathrm{lim}\ \inf {a}_{n} & \le & \mathrm{lim}\ \inf \sqrt[n]{{a}_{1}\cdot \cdots \cdot {a}_{n}}\\ & \le & \mathrm{lim}\ \sup \sqrt[n]{{a}_{1}\cdot \cdots \cdot {a}_{n}}\\ & \le & \mathrm{lim}\ \sup {a}_{n},\end{array}\end{eqnarray} für positive a_n und die hiermit durch den Übergang von a_n zu \({e}^{{a}_{n}}\) und Logarithmierung zu zeigende Ungleichung \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\mathrm{lim}\ \inf {a}_{n} & \le & \mathrm{lim}\ \inf \frac{{a}_{1}+\cdots +{a}_{n}}{n}\\ & \le & \mathrm{lim}\ \sup \frac{{a}_{1}+\cdots +{a}_{n}}{n}\\ & \le & \mathrm{lim}\ \sup {a}_{n}\end{array}\end{eqnarray} für reelle a_n. Aus den letzten beiden Ungleichungen folgen die entsprechenden Konvergenzaussagen des Grenzwertsatzes von Cauchy (Cauchy, Grenzwertsatz von).