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Lexikon der Mathematik: Ungleichungen für Mittelwerte

die Beziehungen \begin{eqnarray}m\le H\le G\le A\le Q\le M\end{eqnarray} mit den in der Tabelle bezeichneten Größen \begin{eqnarray}\boxed{\begin{array}{ll}m=\min \{{x}_{1},\ldots,{x}_{n}\} & {\rm{Minimum}}\\ H=\frac{n}{\frac{1}{{x}_{1}}+\cdots +\frac{1}{{x}^{2}}} & \mathrm{harmonisches\ Mittel}\\ G=\sqrt[n]{{x}_{1}\cdot \cdots \cdot {x}_{n}} & \mathrm{geometrisches\ Mittel}\\ A=\frac{1}{n}({x}_{1}+\cdots +{x}_{n}) & \mathrm{arithmetisches\ Mittel}\\ Q=\sqrt{\frac{1}{n}({x}_{1}^{2}+\cdots +{x}_{n}^{2})} & \mathrm{quadratisches\ Mittel}\\ M=\max \{{x}_{1},\ldots,{x}_{n}\} & {\rm{Maximum}}\end{array}}\end{eqnarray} für positive reelle Zahlen x1, …,xn. Man erhält all diese Ungleichungen und entsprechende Ungleichungen auch für die gewichteten Mittel aus der Ungleichung für die Mittel t-ter Ordnung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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