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Lexikon der Mathematik: unitäre (2 × 2)-Matrix

spezielle unitäre Matrix, nämlich eine Matrix \begin{eqnarray}U=\left(\begin{array}{cc}a & b\\ c & d\end{array}\right),\ a,b,c,d\in {\mathbb{C}}\end{eqnarray} über dem Körper der komplexen Zahlen, die regulär ist und für die gilt: \begin{eqnarray}{U}^{-1}=\overline{{U}^{t}}.\end{eqnarray}

Hierbei ist \begin{eqnarray}{\bar{U}}^{t}:=\left(\begin{array}{cc}\bar{a} & \bar{c}\\ \bar{b} & \bar{d}\end{array}\right).\end{eqnarray}

Ist ⟨v, w⟩ das Standardskalarprodukt in ℂ2, so sind die unitären (2 × 2)-Matrizen U genau die Matrizen, die das Skalarprodukt invariant lassen.

Die Untergruppe von U(2), bestehend aus den Matrizen mit Determinante gleich +1, ist die spezielle unitäre Gruppe SU(2). Es gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{l}U=\left(\begin{array}{l}{cc}a & b\\ c & d\end{array}\right)\in SU(2)\iff \\ a=\bar{d},\ c=-\bar{b},\ {\rm{und}}\ a\bar{a}+b\bar{b}=1.\end{array}\end{eqnarray}

Die Untergruppe SU(2) ist eine normale Untergruppe, da sie der Kern des Determinantenhomomorphismus’ det: U(2) → ℂ ist. Die Gruppe SU(2) ist isomorph zur Gruppe der Hamiltonschen Quaternionen der Norm 1 (Hamiltonsche Quaternionenalgebra), der Isomorphismus wird gegeben durch \begin{eqnarray}a+{\rm{i}}\ b+{\rm{j}}\ c+{\rm{k}}\ d\mapsto \left(\begin{array}{ll}a+{\rm{i}}\ b & -c-{\rm{i}}\ d\\ c-{\rm{i}}\ d & a-{\rm{i}}\ b\end{array}\right).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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