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Lexikon der Mathematik: unitäre Matrix

quadratische Matrix U über dem Körper der komplexen Zahlen, die regulär ist und für die gilt: \begin{eqnarray}{U}^{-1}=\overline{{U}^{t}}\end{eqnarray}

Hierbei bezeichnet Ut die transponierte Matrix zu U, und \(\overline{{U}^{t}}\) die Matrix, die durch elementweise komplexe Konjugation aus der transponierten hervorgeht.

Die Zeilenvektoren einer unitären (n × n)-Matrix bilden bezüglich des kanonischen Skalarprodukts von ℂn ein Orthonormalsystem, ebenso die Spaltenvektoren. Eine lineare Abbildung zwischen zwei n-dimensionalen unitären Räumen V und W ist genau dann unitär (unitäre lineare Abbildung), wenn sie bezüglich zweier Orthonormalbasen von V und W durch eine unitäre Matrix repräsentiert wird. Unitäre Matrizen haben stets Determinante +1 oder −1. Die Menge U(n) aller unitären (n × n)-Matrizen bildet eine Untergruppe der Gruppe GL(n) aller regulären komplexen (n × n)-Matrizen mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung, die unitäre Gruppe; die Menge SU(n) aller Matrizen aus U(n) mit Determinante gleich +1 bildet eine Untergruppe von U(n), die spezielle unitäre Gruppe.

Die unitären Matrizen sind das komplexe Analogon zu den orthogonalen Matrizen, reelle unitäre Matrizen sind stets orthogonal.

Besonders gut studiert sind die unitären (2 × 2)- Matrizen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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