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Lexikon der Mathematik: universelle Überlagerung

auch universelle Überlagerungsabbildung genannt, eine wegzusammenhängende Überlagerung (Überlagerung, analytische) π : EB so, daß E einfach zusammenhängend ist.

ℝ ist beispielsweise die universelle Überlagerung des Einheitskreises S1, die entsprechende Überlagerungsabbildung ist gegeben durch te2πlt. Entsprechend ist die reelle Ebene ℝ2 die universelle Überlagerung des Torus S1 × S1.

Von besonderem Interesse in der Funktionentheorie ist der Fall, daß G ⊂ ℂ ein Gebiet ist, die Überlagerungsabbildung also eine eine holomorphe Funktion mit speziellen Eigenschaften. Ein holomorpher Überlagerungsraum von G ist ein Paar (D, τ) bestehend aus einem Gebiet D ⊂ ℂ und einer surjektiven holomorphen Funktion τ : DG mit folgender Eigenschaft: Zu jedem ζG existiert eine offene Kreisscheibe BζG mit Mittelpunkt ζ derart, daß jede Zusammenhangskomponente des Urbilds \begin{eqnarray}{\tau}^{-1}({B}_{\zeta})\subset D\end{eqnarray} durch τ konform auf Bζ abgebildet wird. Man nennt τ dann eine holomorphe Überlagerungsabbildung.

Ist D ein einfach zusammenhängendes Gebiet, so heißt (D, τ) ein holomorpher universeller Überlagerungsraum von G, und τ eine holomorphe universelle Überlagerungsabbildung.

Die Bezeichnung „universell“ hat folgenden Grund. Es seien (D1, τ1) und (D2, τ2) holomorphe Überlagerungsräume von G. Weiter seien w1D1, w2D2 und z0G mit \begin{eqnarray}{\tau}_{1}({w}_{1})={\tau}_{2}({w}_{2})={z}_{0}.\end{eqnarray}

Ist (D1, τ1) universell, so existiert genau eine surjektive holomorphe Funktion T : D1D2 mit T(w1) = w2 und τ2T = τ1. Sind (D1, τ1) und (D2, τ1) universell, so ist T eine konforme Abbildung von D1 auf D2. Man drückt diese Tatsache auch wie folgt aus: Zwei holomorphe universelle Überlagerungsräume von G sind isomorph. Daher spricht man oft von dem universellen Überlagerungsraum von G. Zur Existenz dieses Raumes vgl. Uniformisierungssatz.

Einige Beispiele von Überlagerungsräumen:

(1) Es sei G = ℂ \ {0} die punktierte Ebene, und für k ∈ ℤ \{0} sei τk(z) ≔ zk, zG. Dann ist (G, τk) ein Überlagerungsraum von G. Definiert man τ(z) ≔ ez, z ∈ ℂ, so ist (ℂ, τ) der universelle Überlagerungsraum von G.

(2) Es sei G = ℂ \ {0,1} die zweifach punktierte Ebene und λ die unter dem Stichwort Modulfunktion definierte Funktion. Weiter sei \begin{eqnarray}{\mathbb{E}}=\{z\in {\mathbb{C}}:|z|\lt 1\}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}\tau (z):=\lambda \left(i\frac{1-z}{1+z}\right),\ z\in {\mathbb{E}}.\end{eqnarray}

Dann ist \(({\mathbb{E}},\tau)\) der universelle Überlagerungsraum von G.

(3) Es sei \(G={\mathbb{E}}\backslash \{0\}\) die punktierte Einheitskreisscheibe und \begin{eqnarray}\tau (z):=\exp \frac{1-z}{1+z},\ z\in {\mathbb{E}}.\end{eqnarray}

Dann ist \(({\mathbb{E}},\tau)\) der universelle Überlagerungsraum von G.

(4) Es sei \begin{eqnarray}G=\{z\in {\mathbb{C}}:0\lt r\lt |z|\lt 1\}\end{eqnarray} ein Kreisring und \begin{eqnarray}\tau (z):=\exp \left[\left(\frac{1}{2}+\frac{i}{\pi}\mathrm{log}\frac{1+z}{1-z}\right)\ \mathrm{log}r\right],\ z\in {\mathbb{E}},\end{eqnarray} wobei der Hauptzweig des Logarithmus zu nehmen ist. Dann ist \(({\mathbb{E}},\tau)\) der universelle Überlagerungsraum von G.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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