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Lexikon der Mathematik: Untergarbe

wichtiger Begriff in der Garbentheorie.

Sei X ein topologischer Raum. Eine Teilmenge \({\mathcal{S}}^{\prime} \) einer Garbe \({\mathcal{S}}=({\mathcal{S}},\ \pi,\ X)\), versehen mit der Relativtopologie, heißt Untergarbe von \({\mathcal{S}}\), falls \(({\mathcal{S}}^{\prime},\ \pi \ {|}_{{\mathcal{S}}^{\prime}})\) eine Garbe über X ist. \({\mathcal{S}}^{\prime} \) ist genau dann eine Untergarbe von \({\mathcal{S}}\), wenn \({\mathcal{S}}^{\prime} \) offen in \({\mathcal{S}}\) liegt. Eine Garbe \({\mathcal{S}}\) von abelschen Gruppen über X heißt eine Garbe von Moduln über \( {\mathcal R} \) oder eine \( {\mathcal R} \)-Garbe oder ein \( {\mathcal R} \)-Modul, falls eine Garbenabbildung \( {\mathcal R} \oplus {\mathcal{S}}\to {\mathcal{S}}\) definiert ist, die auf jedem Halm \({{\mathcal{S}}}_{x}\) die Struktur eines (unitären) \({{\mathcal R}}_{x}\)-Moduls induziert. Natürlich ist \( {\mathcal R} \) selbst ein \( {\mathcal R} \)-Modul. Eine Teilmenge \({\mathcal{S}}^{\prime} \) der \( {\mathcal R} \)-Garbe \({\mathcal{S}}\) heißt \( {\mathcal R} \)-Untermodul von \({\mathcal{S}}\), falls \({\mathcal{S}}^{\prime} \) eine Mengenuntergarbe von \({\mathcal{S}}\) und jeder Halm \({{\mathcal{S}}}_{x}^{\prime}\) ein \({{\mathcal R}}_{x}\)-Untermodul von \({{\mathcal{S}}}_{x}\) ist. Eine Idealgarbe \( {\mathcal I} \subset {\mathcal R} \) ist ein \( {\mathcal R} \)-Untermodul des \( {\mathcal R} \)-Moduls \( {\mathcal R} \). Für jedes Ideal \( {\mathcal I} \subset {\mathcal R} \) definiert man das Produkt \begin{eqnarray}{\mathcal{I}}\cdot {\mathcal{S}}:=\displaystyle \mathop{\bigcup}\limits_{x\in X}{{\mathcal{I}}}_{x}\cdot {{\mathcal{S}}}_{x}\subset {\mathcal{S}},\end{eqnarray} wobei \({{\mathcal I}}_{x}\cdot {{\mathcal{S}}}_{x}\) der aus den Linearkombinationen \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{1}^{\lt \infty}{a}_{vx}{s}_{vx}\ {a}_{vx}\in {{\mathcal{I}}}_{x},\ {s}_{vx}\in {{\mathcal{S}}}_{x},\end{eqnarray} bestehende \({{\mathcal R}}_{x}\)-Untermodul von \({{\mathcal{S}}}_{x}\) ist. Die Menge \( {\mathcal I} \cdot {\mathcal{S}}\) ist offen in \({\mathcal{S}}\), also ein \( {\mathcal R} \)-Untermodul von \({\mathcal{S}}\).

Vgl. auch Quotientengarbe.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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