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Lexikon der Mathematik: Unterkategorie

Begriff aus der Kategorientheorie.

Eine Unterkategorie einer Kategorie \({\mathcal{C}}\) besteht aus Objekten und Morphismen aus \({\mathcal{C}}\), so, daß gilt:

(1) Mit jedem Morphismus \(f\in {{\rm{Mor}}}_{{\mathcal{C}}}(A,\ B)\), der in der Unterkategorie \({\mathcal{U}}\) ist, sind auch die Objekte A und B in \({\mathcal{U}}\).

(2) Zu jedem Objekt A, das in \({\mathcal{U}}\) ist, enthält sie auch \({1}_{A}\in {{\rm{Mor}}}_{C}(A,\ A)\).

(3) Für je zwei Morphismen, die in \({\mathcal{U}}\) sind, und die in \({\mathcal{C}}\) zusammensetzbar sind, ist auch die Zusammensetzung in \({\mathcal{U}}\).

Eine Unterkategorie \({\mathcal{U}}\) ist selbst eine Kategorie. Sie heißt eine volle Unterkategorie, falls sie für alle Paare \(A,\ B\in Ob({\mathcal{U}})\) alle Morphismen aus \({\mathcal{U}}\) zwischen ihnen enthält: \({{\rm{Mor}}}_{{\mathcal{U}}}(A,\ B)=\ {{\rm{Mor}}}_{{\mathcal{C}}}(A,\ B)\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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