eine Teilmenge N ⊂ M einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M, die sich in einer genügend kleinen Umgebung \({\mathcal{V}}\) eines jeden ihrer Punkte P ∈ N in geeigneten lokalen Koordinaten x₁, …,x_n durch die l linearen Gleichungen \begin{eqnarray}{x}_{n-l+1}={x}_{n-l+2}=\cdots ={x}_{n-1}={x}_{n}=0\end{eqnarray} darstellen läßt, wobei n die Dimension von M und 0 ≤ l ≤ n eine natürliche Zahl ist, die Kodimension von N im Punkt P genannt wird.

Das bedeutet, daß für alle P ∈ N eine Umgebung \({\mathcal{V}}\subset M\) und n auf \({\mathcal{V}}\) definierte differenzierbare Funktionen x₁, …,x_n so gewählt werden können, daß \begin{eqnarray}N\cap {\mathcal{V}}=\{Q\in {\mathcal{V}}|{x}_{n-l+1}(Q)=\cdots ={x}_{n}(Q)=0\}\end{eqnarray} gilt, und die Differentiale dx₁, …,dx_n in allen Punkten von \(N\cap {\mathcal{V}}\) linear unabhängig sind. Die Zahl k = n − l ist die Dimension von N im Punkt P. Wenn N topologisch zusammenhängend ist, sind Dimension und Kodimension von N in allen Punkten gleich.

Die Klasse der Untermannigfaltigkeiten besteht aus Teilmengen, die hinsichtlich lokaler topologischer Eigenschaften einfachste Struktur haben, vergleichbar mit der von k-dimensionalen linearen Unterräumen des ℝⁿ. Man nennt die so definierten Untermannigfaltigkeiten auch eingebettet, um sie vom allgemeineren Begriff der immergierten Untermannigfaltigkeit zu unterscheiden.

Zur Definition des Begriffs der immergierten Untermannigfaltigkeit geht man von zwei beliebigen Mannigfaltigkeiten M und N aus, von denen keine eine Teilmenge der jeweils anderen sein muß. Statt einer Inklusionsbeziehung setzt man die Existenz einer injektiven Immersion φ : N → M voraus. Das ist eine injektive differenzierbare Abbildung, deren Differential \begin{eqnarray}d\phi :{T}_{P}(N)\to {T}_{\phi (P)}(M)\end{eqnarray} für alle P ∈ M eine injektive lineare Abbildung der Tangentialräume von N in die entsprechenden Tangentialräume von M ist. Die Bildmenge φ(N), auf die N mittels φ umkehrbar eindeutig abgebildet wird, kann mit N identifiziert werden und wird als immergierte Untermannigfaltigkeit bezeichnet. Beispiele sind reguläre Parameterdarstellungen von Flächen und Kurven im ℝ³. Jede eingebettete Untermannigfaltigkeit N ⊂ M ist auch eine immergierte, es genügt, für φ die identische Einbettung von N in M zu wählen.

Umgekehrt ist eine immergierte Untermannigfaltigkeit im allgemeinen keine eingebettete. Als Gegenbeispiele kann man reguläre Kurven α : ℝ → ℝ³ anführen, deren Bildmenge α(ℝ) eine dichte Teilmenge des zweidimensionalen Torus ist. Jedoch folgt aus dem Satz über implizite Funktionen, daß jeder Punkt P ∈ N eine Umgebung \({\mathcal{U}}\) besitzt derart, daß \(\phi ({\mathcal{U}})\) eine eingebettete Untermanngfaltigkeit ist.