Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Unterraum eines Vektorraumes

linearer Unterraum, Teilraum eines Vektorraumes, nicht leere Teilmenge UV eines Vektorraumes V über einem Körper \({\mathbb{K}}\), die abgeschlossen ist bezüglich der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation, d.h., für die gilt: Für alle u1, u2, uU und alle \(\alpha \in {\mathbb{K}}\) ist stets u1 + u2U und αuU.

Ist U Unterraum von V und V Unterraum von W, so ist auch U Unterraum von W. Der Durchschnitt einer beliebigen Familie (Ui)iI von Unterräumen eines Vektorraumes V ist selbst Unterraum von V. Die Vereinigung von Unterräumen ist i. allg. aber kein Unterraum.

Der Nullraum {0} ist Unterraum jedes Vektorraumes. Ein Unterraum eines \({\mathbb{K}}\)-Vektorraumes V enthält stets den Nullvektor 0 ∈ V und ist selbst ein \({\mathbb{K}}\)-Vektorraum, man spricht deshalb auch von einem Untervektorraum.

Beispiele:

(1) Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0 mit einer (m × n)-Matrix A über \({\mathbb{K}}\) bildet einen Unterraum des Vektorraumes \({{\mathbb{K}}}^{n}\).

(2) Die Menge \begin{eqnarray}{\mathbb{K}}v:=\{\alpha v|\alpha \in {\mathbb{K}}\}\end{eqnarray} bildet für jedes vV einen Unterraum des \({\mathbb{K}}\)-Vektorraumes V.

(3) Sei ϕ: VV ein Endomorphismus auf dem endlich-dimensionalen Vektorraum V über \({\mathbb{K}}\). Dann bildet die Menge aller Vektoren der Form f(ϕ)(v) mit einem Polynom \(f\in {\mathbb{K}}(t)\) für jedes vV einen ϕ-invarianten Unterraum von V. Dieser Unterraum ist der Durchschnitt aller ϕ-invarianten Unterräume von V, die v enthalten.

(4) Die Menge aller fast überall verschwindenden Abbildungen einer nicht-leeren Menge A in einen Körper \({\mathbb{K}}\) bildet einen Unterraum von \({{\mathbb{K}}}^{A}\).

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnerinhalte