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Lexikon der Mathematik: Unterraum-Iterationsmethode

ein iteratives Verfahren zur Approximation mehrerer Eigenwerte und zugehöriger Eigenvektoren (bzw. des zugehörigen Eigenraums) einer Matrix A ∈ ℝn×n.

Man unterscheidet zwei Aufgabenstellungen. Zum einen seien die p betragsgrößten Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren (bzw. der zugehörige Eigenraum) gesucht; zum anderen seien die zu bekannten Näherungen an p Eigenwerte gehörigen p Eigenvektoren (bzw. der zugehörige p-dimensionale Eigenraum) gesucht. Im ersten Fall basiert die Unterraum-Iterationsmethode auf der Potenzmethode, im zweiten Fall auf der inversen Iteration.

Möchte man die p betragsgrößten Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren (bzw. den zugehörigen Eigenraum) approximieren, so berechnet man ausgehend von einer Startmatrix X0 ∈ ℂn×p mit orthonormalen Spalten die Folge von Matrizen \begin{eqnarray}{Y}_{m+1}=A{X}_{m}\ {\rm{und}}\ {X}_{m+1}={Q}_{m+1},\end{eqnarray} wobei Ym+1 = Qm+1Rm+1 die QR-Zerlegung von Ym+1 ist. Typischerweise konvergiert die Folge {Xm}m∈ℕ gegen eine Matrix, deren Spalten einen p-dimensionalen Eigenraum zu den p betragsgrößten Eigenwerten von A aufspannen.

Möchte man zu p bekannten Näherungen an p Eigenwerte die zugehörigen p Eigenvektoren (bzw. den zugehörigen p-dimensionalen Eigenraum) approximieren, dann startet man analog zu dem obigen Vorgehen die inverse Iteration mit einer Matrix X0 ∈ ℂn×p mit orthonormalen Spalten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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