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Lexikon der Mathematik: Vaguelette

Wavelet-ähnliche Funktion mit verschwindenden Momenten und schnellem Abfall.

Vaguelettes tauchen beispielsweise bei der Zerlegung von (Differential-)Operatoren mit Hilfe von Wavelets (Wavelet-Vaguelette-Zerlegung) auf. Yves Meyer führte den Begriff im Zusammenhang mit einem Beweis des sogenannten T(1)-Theorems, einer Aussage über L2-Stetigkeit gewisser singuärer Integraloperatoren T, ein. Nach Meyer sind stetige Funktionen fj,k, j ∈ ℤ, k ∈ ℤn auf ℤn Vaguelettes, wenn zwei Exponenten α > β > 0 und eine Konstante C existieren, so daß folgende Bedingungen gelten:

  1. |fj,k(x)| ≤ C2nj/2 < (1 + |2jxk\)−n−α,
  2. \(\displaystyle {\int}_{{{\mathbb{R}}}^{n}}{f}_{j,k}(x)dx=0,\)
  3. |fj,k(x) − fj,k(y)| ≤ C2(n/2+β)j |xy|β.

Aus dieser Definition und dem Lemma von Schur folgt die Existenz einer Konstanten 0 < C′ < ∞, so daß folgende Abschätzung für alle möglichen Koeffizienten αj,k gilt: \begin{eqnarray}{\bigg\Vert \displaystyle \sum _{j,k}{\alpha}_{j,k}{f}_{j,k}\bigg\Vert}_{2}\le {C}^{\prime}{\left(\displaystyle \sum _{j,k}{|{\alpha}_{j,k}|}^{2}\right)}^{1/2}.\end{eqnarray}

Diese Abschätzung dient dem Beweis der L2-Stetigkeit von T im T(1)-Theorem.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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