Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: variable Metriken

sind u.a. bei der Wahl von Abstiegsrichtungen in Optimierungsverfahren gebräuchlich.

Ein Skalarprodukt < ·, · > des ℝn erzeugt stets eine Metrik \begin{eqnarray}d(x,y):={x}^{T}\cdot A\cdot y,\end{eqnarray} wobei \begin{eqnarray}A=({a}_{ij}):=(\lt {e}_{i},{e}_{j}\gt)\end{eqnarray} aus den paarweisen Produkten der Einheitsvektoren ei bestimmt ist. Die Matrix A ist symmetrisch und positiv definit.

Im Verlauf von Optimierungsverfahren sucht man häufig zu einem berechneten Punkt x und einer berechneten Matrix A eine bezüglich der von A erzeugten Metrik konjugierte Richtung y zu x, d. h., ein y mit \begin{eqnarray}{x}^{T}\cdot A\cdot y=0.\end{eqnarray}

Im weiteren Verlauf des Verfahrens wird dann A üblicherweise verändert, wodurch bei den nächsten Schritten konjugierte Richtungen zu anderen Metriken gesucht werden. Die benutzten Metriken ändern sich also schrittweise, sie sind variabel.

Typische Verfahren der Optimierung, die variable Metriken verwenden, sind das Verfahren von

Davidson, Fletcher und Powell und das numerisch stabilere BFGS-Verfahren.

Schreiben Sie uns!

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnerinhalte

Bitte erlauben Sie Javascript, um die volle Funktionalität von Spektrum.de zu erhalten.