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Lexikon der Mathematik: Variationsrechnung

mathematische Disziplin, die sich mit unendlichdimensionalen Optimierungsproblemen beschäftigt, bei denen man eine Funktion y derart sucht, daß ein gegebenes Funktional, meist ein Integral, minimal wird.

Typischerweise betrachtet man dabei Integrale der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}I=I(y)=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int}}F(x,y,{y}^{\prime})\ dx & (1)\end{array}\end{eqnarray} mit gegebener Funktion F, wobei üblicherweise die (gesuchte) Funktion y zusätzlich noch Randbedingungen erfüllen muß, beispielsweise sind die Werte y(a) und y(b) vorgeschrieben (vgl. Abb.).

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Variationsrechnung
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Zu bestimmen ist also eine Funktion y, die y(a) = y1 und y(b) = y2 erfüllt, und für die das Integral in (1) minimal ausfällt. Hierzu führt man einen zusätzlichen Parameter ϵ > 0 ein und parametrisiert die Lösung in der Form y(x) + ϵh(x), wobei h eine genügend oft differenzierbare Funktion, sog. Test-funktion, darstellt. Notwendige Bedingung an eine Lösung ist somit \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\delta I=\frac{\partial}{\partial \varepsilon}I(0)=0. & (2)\end{array}\end{eqnarray}

Den Ausdruck δI bezeichnet man auch als erste Variation von I, was die Bezeichnung Variationsrechnung erklärt.

Weitere Analyse von (2) führt auf die Bedingung \begin{eqnarray}\delta I=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int}}\left(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial {y}^{\prime}}\right)\ h(x)\ dx=0\end{eqnarray} und schließlich \begin{eqnarray}\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial {y}^{\prime}}=0,\end{eqnarray} die sog. Euler-Lagrange-Gleichung.

In Verallgemeinerung von (1) betrachtet man in der Variationsrechnung auch Probleme mit inhomogener rechter Seite und Variationsungleichungen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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