Eigenschaft von parameterabhängigen Mengen in der nichtlinearen Approximation.

Es seien C[b, c] die Menge der stetigen Funktionen auf [b, c], \({\mathcal{A}}\subseteq {{\mathbb{R}}}^{n}\) eine Parametermenge, und \begin{eqnarray}{G}_{{\mathcal{A}}}=\{g={g}_{a}:[b,c]\mapsto {\mathbb{R}},\ a\in {\mathcal{A}}\}\subseteq C[b,c]\end{eqnarray} eine Menge von Funktionen. Die Menge \({G}_{{\mathcal{A}}}\) heißt solvent vom Grad m ≥ 1 in \({a}_{0}\in {\mathcal{A}}\), falls für beliebige b ≤ x₁ < … < x_m ≤ c und jedes ϵ > 0 eine Zahl \begin{eqnarray}\delta =\delta ({a}_{0},\varepsilon,{x}_{1},\ldots,{x}_{m})\gt 0\end{eqnarray} so existiert, daß aus \begin{eqnarray}|{g}_{{a}_{0}}({x}_{i})-{y}_{i}|\lt \delta,\ i=1,\ldots,m,\end{eqnarray} die Existenz eines Parameters \(a\in {\mathcal{A}}\) folgt mit den Eigenschaften \begin{eqnarray}{g}_{a}({x}_{i})={y}_{i},\ i=1,\ldots,m,\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{\Vert {g}_{a}-{g}_{{a}_{0}}\Vert}_{\infty}\lt \varepsilon.\end{eqnarray}

Hierbei ist ∥·∥_∞ die Maximumnorm.

Man nennt \({G}_{{\mathcal{A}}}\) unisolvent vom Grad m in a₀, falls m die größte ganze Zahl ist, für die \({G}_{{\mathcal{A}}}\) solvent vom Grad m in a₀ ist, und zusätzlich für alle \(a\in {\mathcal{A}}\) gilt: Falls \({g}_{a}-{g}_{{a}_{0}}\ne 0\), dann besitzt \({g}_{a}-{g}_{{a}_{0}}\) weniger als m Nullstellen in [b, c].

Man nennt \({G}_{{\mathcal{A}}}\) varisolvent (oder auch: unisolvent von variablem Grad), falls für alle \(a\in {\mathcal{A}}\) stets eine ganze Zahl m(a) so existiert, daß \({G}_{{\mathcal{A}}}\) unisolvent vom Grad m(a) in a ist.

Im Jahr 1960 bewies J.R. Rice den folgenden Satz, der den Zusammenhang dieser Begriffe zur nichtlinearen Approximation herstellt.

Es sei f ∈ C[b, c], und \({G}_{{\mathcal{A}}}\)sei unisolvent vom Grad m(a) ≥ 1 für jedes \(a\in {\mathcal{A}}\)ist. Dann gelten:

(i) Es gibt maximal eine beste Approximation \({g}_{a}\in {G}_{{\mathcal{A}}}\) (d.h. \({\Vert f-{g}_{a}\Vert}_{\infty}\le {\Vert f-{g}_{\tilde{a}}\Vert}_{\infty}\), \(\tilde{a}\in {\mathcal{A}}\)) hinsichtlich ∥·∥_∞an f.

(ii) Die Funktion \({g}_{a}\in {G}_{{\mathcal{A}}}\)ist genau dann beste Approximation hinsichtlich der Maximumnorm an f, wenn die Fehlerfunktion g_a − f eine Alternante der Länge m(a) + 1 besitzt, d. h., wenn es b ≤ x₁ < … < x_m(a)+1 ≤ c so gibt, daß \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{(-1)}^{i}\sigma ({g}_{a}-f)({x}_{i})={\Vert ({g}_{a}-f)\Vert}_{\infty},\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\ i=1,\ldots,m(a)+1,\end{array}\end{eqnarray}wobei σ ∈ {−1,1}.