Lexikon der Mathematik: Vektorfeld auf der Sphäre
ein stetiger Schnitt über der n-dimensionalen Sphäre Sn in das Tangentialbündel TSn der Sphäre.
Von besonderem Interesse ist die Frage, für welche Werte von n Vektorfelder existieren, die nirgends verschwinden. Diese Frage kann mit Methoden der algebraischen Topologie beantwortet werden.
Die Sphäre Sn besitzt genau dann ein Vektorfeld ohne Nullstellen, falls n ungerade ist.
Insbesondere besitzt jedes Vektorfeld auf der zweidimensionalen Kugelsphäre eine Nullstelle (Satz vom Igel).
Eine Aussage für allgemeinere Mannigfaltigkeiten liefert der folgende Satz:
Eine kompakte Mannigfaltigkeit M besitzt genau dann ein Vektorfeld ohne Nullstellen, wenn die Eulersche Charakteristik χ(M) = Σi(−1)ibi gleich Null ist.
Hierbei sind die bi = dim Hi(M, ℝ) die topologisehen Betti-Zahlen von M.
Für die Sphären gilt
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