eine auf einer σ-Algebra Σ von Mengen definierte Abbildung m mit Werten in einem Banachraum (oder lokalkonvexen Raum) X mit \begin{eqnarray}m\left(\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty}{\bigcup}}{{A}}_{j}\right)=\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty}m({{A}}_{{j}})\end{eqnarray} für paarweise disjunkte A_j ∈ Σ.

Die Mengenfunktion \begin{eqnarray}{A}\mapsto |em|({A}):=\text{sup}\displaystyle \sum _{j=1}^{n}||m({{A}}_{{j}})||\end{eqnarray} heißt Variation von m, wobei das Supremum über alle Zerlegungen von A in paarweise disjunkte Mengen aus Σ zu bilden ist; |m| ist ein σ-additives Maß mit Werten in [0, ∞]. Ferner heißt \begin{eqnarray}\text{A}\mapsto \Vert m \Vert\left({A} \right):=\underset{\left({{{A}}_{J}} \right),\left({{\varepsilon}_{j}} \right)}{\mathop{\text{sup}}}\,\left\| \sum\limits_{j=1}^{n}{{{\varepsilon}_{j}}m\left({{{A}}_{{j}}} \right)} \right\|\end{eqnarray} die Semivariationvon m, wobei die A_j wie oben und die ε_j = ±1 sind. Ein Vektormaß hat genau dann beschränkte SemiVariation, wenn es einen beschränkten Wertebereich {m(A) : A ∈ Σ} hat.

Das Vektormaß m heißt bzgl. des positiven reellwertigen Maßes μ absolutstetig (in Zeichen m ≪ μ), falls \begin{eqnarray}\mu \left({A} \right)=0\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{m}\left({A} \right)=0 &;\end{eqnarray} der Satz von Radon-Nikodym für banachraumwertige Maße ist nur in gewissen Klassen von Banachräumen gültig, siehe hierzu Radon-Nikodym-Eigenschaft.

Jedes Vektormaß m besitzt ein endliches positives reellwertiges Kontrollmaß; dies ist ein Maß μ mit m ≪ μ (Satz von Bartle-Dunford-Schwartz). Der Wertebereich eines ℝⁿ-wertigen nichtatomaren Vektormaßes ist stets konvex und kompakt (Konvexitätssatz von Ljapunow); dabei heißt m nichtatomar, wenn jede meßbare Menge A mit von 0 verschiedenem Maß disjunkt in A₁ ∪ A₂ zerlegt werden kann, so daß \begin{eqnarray}m\left({{{A}}_{1}} \right)\ne \,\,0\,\,\,\ne \,\,m\left({{{A}}_{2}} \right)\end{eqnarray} ist.

Da in (1) die Reihenfolge der A_j in ⋃_jA_j unerheblich ist, muß die Reihe in (1) notwendig unbedingt konvergieren (unbedingte Konvergenz). In diesem Zusammenhang ist der Satz von Orlicz-Pettis bemerkenswert:

Konvergieren die Reihen in (1) stets bloß schwach (schwache Konvergenz), so konvergieren sie bereits in der Norm.

[1] Diestel, J.; uhi, J.: Vector Measures. American Mathematical Society, 1977.
[2] Dunford, N.; Schwartz, J. T.: Linear Operators. Part I: General Theory. Wiley New York, 1958.