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Lexikon der Mathematik: Vektorverband

Riesz-Raum, ein geordneter Vektorraum X, in dem je zwei Elemente x und y eine kleinste obere Schranke (Supremum) besitzen, die mit xy bezeichnet wird; dann existiert auch die größte untere Schranke (Infimum) xy.

Der Positivteil eines Elements xX ist als x+ = x ∨ 0 und der Negativteil als x = (−x) ∨ 0 erklärt; man beachte, daß x ≥ 0 ist. Dann gilt \begin{eqnarray}x={x}^{+}-{x}^{-},\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}|x|:={x}^{+}+{x}^{-}=x\vee (-x)\end{eqnarray} heißt Absolutbetrag von x.

Beispiele für Vektorverbände sind die Funktionenräume Lp (μ) oder C(K); dies sind sogar Banach-Verbände. Zu Operatoren auf Vektorverbänden siehe Abbildung zwischen Vektorverbänden.

[1] Schaefer, E. H.: Banach Lattices and Positive Operators. Springer Berlin/Heidelberg, 1974.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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