Lösung der verallgemeinerten hypergeometrischen Differentialgleichung, die wie folgt definiert ist:

Ist der Differentialoperator \({\mathcal{D}}\) definiert durch \begin{eqnarray}\mathcal{D}\,:=z\frac{d}{dz},\end{eqnarray} dann lautet für Konstanten a₁, a₂,…a_p und c₁, c₂ … c_q aus ℂ die hypergeometrische Differentialgleichung: \begin{eqnarray}\begin{array}{c}\mathcal{D}\,\left(\mathcal{D}+{{c}_{1}}-1 \right)\,\left(\mathcal{D}+{{c}_{2}}-1 \right)\cdot \cdot \cdot \left(\mathcal{D}+{{c}_{q}}-1 \right){w}= \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=z\left(\mathcal{D}+{{\alpha}_{1}} \right)\left(\mathcal{D}+{{\alpha}_{2}} \right)\cdot \cdot \cdot \left(\mathcal{D}+{{\alpha}_{1}} \right){w}.\end{array}\end{eqnarray} Dies ist eine Differentialgleichung der Ordnung \begin{eqnarray}\max (p,q+1).\end{eqnarray} Eine Lösung dieser Differentialgleichung ist formal durch die folgende verallgemeinerte hypergeometrische Reihe gegeben: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{\text{}_{p}{{{F}_{q}}({{\alpha}_{1}},{{\alpha}_{2}},\ldots,\alpha_p;{{c}_{1}},{{c}_{2}},\ldots,{{c}_{q}};z)\,\,:=}} \\ \,\,\,\,\,=\displaystyle\sum\limits_{s=0}^{\infty}{\displaystyle\frac{{{\left({{\alpha}_{1}} \right)}_{s}}{{\left({{\alpha}_{2}} \right)}_{s}}\cdots {{\left({{\alpha}_{p}} \right)}_{s}}}{{{\left({{c}_{1}} \right)}_{s}}{{\left({{c}_{2}} \right)}_{s}}\cdots {{\left({{c}_{q}} \right)}_{s}}}}\frac{{{z}^{2}}}{s!}.\end{array}\end{eqnarray} Dabei ist (a)_n das Pochhammer-Symbol, definiert durch \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{(\alpha)}_{n}:=\alpha \cdot (\alpha +1)(\alpha +2) \ldots (\alpha +n-1)\\ {(\alpha)}_{0}:=1.\end{array}\end{eqnarray} Offensichtlich muß man zunächst den Fall ausschließen, daß einer der Koeffizienten c_i in −ℕ₀ ist. Ist nun p ≤ q, so konvergiert diese Reihe und definiert eine ganze Funktion in z, die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion.

Für p = q + 1 ist der Konvergenzradius gerade 1; außerhalb des Einheitskreises in ℂ muß man dann _pF_q durch meromorphe Fortsetzung (meromorphe Funktion) definieren.

Für p > q + 1 ist diese Reihe divergent und definiert keine Lösung der verallgemeinerten hypergeometrischen Differentialgleichung, es sei denn, einer der Koeffizienten a_s ist Null oder eine negative ganze Zahl, womit dann _pF_q ein Polynom ist.

Besonders interessant sind die Fälle \begin{eqnarray}p=q=1\,\,\text{und}\,\,\,{p=2,q=1}\text{.}\end{eqnarray} Im ersten Fall nennt man ₁F₁ auch KummerFunktion oder die konfluente hypergeometrische Funktion. Die zweite Funktionenfamilie ₂F₁ bezeichnet man auch einfach als hypergeometrische Funktion.