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Lexikon der Mathematik: verallgemeinertes Polygon

verallgemeinertes Vieleck, genauer bezeichnet als verallgemeinertes n-Eck der Ordnung (s, t), eine Inzidenzstruktur \((\mathcal{P},\mathcal{B},I \right)\), für die gilt:

  • Jeder Block enthält genau s + 1 Punkte.
  • Jeder Punkt ist enthalten in genau t + 1 Blöcken.
  • Der Inzidenzgraph hat Taillenweite 2n.
  • Der Inzidenzgraph hat Durchmesser n.
Hierbei ist der Inzidenzgraph derjenige Graph, dessen Punkte die Elemente aus \(\mathcal{P}\) und \(\mathcal{P}\) sind, wobei zwei Punkte durch eine Kante verbunden werden, wenn sie Inzident sind. Die Taillenweite ist die kleinste Länge eines Kreises, der Durchmesser ist der größte Abstand (Länge des maximalen Pfades) zweier Punkte.

Anstelle der ersten beiden Forderungen kann man auch verlangen, daß jeder Block mindestens drei Punkte enthält und umgekehrt.

Ein verallgemeinertes Zweieck ist eine Inzidenzstruktur, bei der jeder Punkt mit jedem Block Inzident ist. Der zugehörige Inzidenzgraph ist ein vollständiger bipartiter Graph. Ein verallgemeinertes Dreieck ist eine projektive Ebene. Endliche verallgemeinerte Polygone gibt es nur für n = 2, 3, 4, 6, 8 und 12. Von besonderer Bedeutung sind verallgemeinerte Vierecke. Verallgemeinerte Polygone sind die Gebäude vom Rang 2.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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