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Lexikon der Mathematik: Verband

bezüglich einer zweistelligen Relation ≤ definierte Halbordnung V, bei der zu je zwei Elementen x, yV das Supremum sup(x, y) ∈ V und das Infimum inf(x, y) ∈ V existieren.

Jedem Verband V können zwei binäre Operationen ∨ und ∧ zugeordnet werden, die für alle Elemente x, yV durch \begin{eqnarray}x\vee y=\sup (x,y)\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}x\wedge y=\inf (x,y)\end{eqnarray} definiert sind. Insbesondere gilt hiermit xy = x und xy = y genau dann, wenn yx gilt. Die Operation ∨ wird Vereinigung oder Disjunktion, die Operation ∧ Durchschnitt oder Konjunktion genannt.

Es gelten die sechs folgenden Regeln, die als Verbandsaxiome bezeichnet werden.

  1. a, b, cV : (ab) ∧ c = a ∧ (bc)
  2. a, b, cV : (ab) ∨ c = a ∨ (bc)
  3. a, bV : ab = ba
  4. a, bV : ab = ba
  5. a, bV : a ∨ (ab) = a
  6. a, bV : a ∨ (ab) = a. Die Regeln 1 und 2 heißen Assoziativgesetz, die Regeln 3 und 4 Kommutativgesetz, und die Regeln 5 und 6 Absorbtionsgesetz. Desweiteren gilt in jedem Verband das Idempotenzgesetz
  7. aV : aa = a
  8. aV : aa = a, das direkt aus dem Absorbtionsgesetz folgt.

Umgekehrt gilt auch folgende Aussage:

Gelten für eine Menge V und zwei Operationen ∧ unddie Verbandsaxiome, so ist (V, ≤) mit \begin{eqnarray}a\le b:\iff a\wedge b=a\end{eqnarray}ein Verband.

Man schreibt in der Regel „(V, ≤) ist ein Verband“ oder „(V, ∧, ∨) ist ein Verband“, um zu verdeutlichen, bzgl. welcher Relation ≤ bzw. bzgl. welcher Operationen ∧ und ∨ die Menge V ein Verband ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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