Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Verband

bezüglich einer zweistelligen Relation ≤ definierte Halbordnung V, bei der zu je zwei Elementen x, yV das Supremum sup(x, y) ∈ V und das Infimum inf(x, y) ∈ V existieren.

Jedem Verband V können zwei binäre Operationen ∨ und ∧ zugeordnet werden, die für alle Elemente x, yV durch \begin{eqnarray}x\vee y=\sup (x,y)\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}x\wedge y=\inf (x,y)\end{eqnarray} definiert sind. Insbesondere gilt hiermit xy = x und xy = y genau dann, wenn yx gilt. Die Operation ∨ wird Vereinigung oder Disjunktion, die Operation ∧ Durchschnitt oder Konjunktion genannt.

Es gelten die sechs folgenden Regeln, die als Verbandsaxiome bezeichnet werden.

  1. a, b, cV : (ab) ∧ c = a ∧ (bc)
  2. a, b, cV : (ab) ∨ c = a ∨ (bc)
  3. a, bV : ab = ba
  4. a, bV : ab = ba
  5. a, bV : a ∨ (ab) = a
  6. a, bV : a ∨ (ab) = a. Die Regeln 1 und 2 heißen Assoziativgesetz, die Regeln 3 und 4 Kommutativgesetz, und die Regeln 5 und 6 Absorbtionsgesetz. Desweiteren gilt in jedem Verband das Idempotenzgesetz
  7. aV : aa = a
  8. aV : aa = a, das direkt aus dem Absorbtionsgesetz folgt.

Umgekehrt gilt auch folgende Aussage:

Gelten für eine Menge V und zwei Operationen ∧ unddie Verbandsaxiome, so ist (V, ≤) mit \begin{eqnarray}a\le b:\iff a\wedge b=a\end{eqnarray}ein Verband.

Man schreibt in der Regel „(V, ≤) ist ein Verband“ oder „(V, ∧, ∨) ist ein Verband“, um zu verdeutlichen, bzgl. welcher Relation ≤ bzw. bzgl. welcher Operationen ∧ und ∨ die Menge V ein Verband ist.

Spezielle Verbände sind der Verband mit Einselement, der Verband mit Nullelement, und der vollständige Verband.

Siehe auch Verbandstheorie.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos