betrachten spezielle Funktionen von einem höheren Standpunkt aus und verwenden andere Zweige der Mathematik, wie z. B. die Theorie der Lie-Gruppen, um zu Aussagen etwa über Additionstheoreme und Rekursionsformeln spezieller Funktionen zu gelangen. Viele spezielle Funktionen lassen sich so als Matrixelemente der Darstellung einer gewissen (lokalen) Lie-Gruppe auf analytischen Funktionen verstehen. Additionstheoreme und Rekursionsformeln ergeben sich dann auf natürliche Weise aus der Gruppenstruktur der Lie-Gruppe.

Genauer: Sei G eine lokale, n-dimensionale komplexe Lie-Gruppe, d. h. eine Abbildung φ : V × V → ℂⁿ, definiert auf einer Umgebung V des Ursprungs e := 0 von ℂⁿ mit den Eigenschaften

• Die Abbildung φ ist analytisch in beiden Argumenten.
• Sind g, h und k in V und auch φ(g, h) ∈ V und φ(h, k) ∈ V, so gilt φ(φ(g, h), k) = φ(g, φ(h, k)).
• Für alle g ∈ V gilt φ(e, g) = φ(g, e) = e.

Der Tangentialraum T_eG an G in e, beispielsweise realisiert durch Tangentialvektoren von Kurven γ : [a, b] → G durch γ(0) = e, ist damit auch im Falle einer lokalen Lie-Algebra wohldefiniert, und man erhält auf kanonische Weise die Lie-Algebra \({\mathfrak{G}}\) der (lokalen) Lie-Gruppe G. Die Lie-Klammer von \({\mathfrak{G}}\) soll wie üblich mit [·, ·] notiert werden. Die Gruppenstruktur von G ausnutzend, kann man nun ein Element g in G auch mit einem Isomorphismus von \({T}_{e}G={\mathfrak{G}}\) nach T_gG identifizieren, indem man die einen Tangentialvektor X = γ′(0) definierende Kurve γ(t) auf γ(t)g abbildet. Da diese Kurve zur „Zeit“ t = 0 durch den Punkt g geht, definiert ihr Tangentialvektor an diesem Punkt also einen Vektor im Tangentialraum T_gG.

Auf diese Weise definiert man die Exponentialabbildung von \({\mathfrak{G}}\) in eine Umgebung von e in G durch die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems \begin{eqnarray}\text{exp}{{\left(tX \right)}_{\left| t=0 \right.}}=\,\text{e}\,\,\frac{d}{dt}\exp \left(tX \right)=X\exp \left(tX \right),\end{eqnarray} die damit für kleine |t| wegen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes für gewöhnliche Differentialgleichungen immer wohldefiniert ist.

Man stelle nun die Lie-Algebra \({\mathfrak{G}}\) als Differentialoperation erster Ordnung auf den analytischen Funktionenkeimen \({{\mathcal{A}}}_{{z}_{0}}\) an einem Punkt z₀ ∈ ℂ^m dar, d. h., jedes \({\mathfrak{G}}\) in der Lie-Algebra wird durch einen Differentialoperator D_X dargestellt, der auf in einer Umgebung W ⊂ ℂ^m um z₀ definierte analytischen Funktionen \(f\in {\mathcal{A}}(W,{\mathbb{C}})\) wirkt, wobei weiterhin \begin{eqnarray}\begin{array}{*{35}{l}}{{D}_{\alpha X+\beta Y}} & = & \alpha {{D}_{X}}+\beta {{D}_{Y}} \\{{D}_{\left[ X,Y \right]}}\, & = & \,\left[ {{D}_{X,}}{{D}_{Y}} \right]\,:={{D}_{X}}{{D}_{Y}}-{{D}_{Y}}{{D}_{X}} \\ \,\left({{D}_{X}}f \right)\left(z \right) & = & \sum\limits_{i=1}^{m}{{{p}_{i}}\left(X;z \right)\frac{\partial f}{\partial {{z}_{i}}}\left(z \right)+Q\left(X;z \right)f\left(z \right)} \\ \end{array}\end{eqnarray} gilt. Den Term erster Ordnung von D_X notieren wir als L_X, \begin{eqnarray}({L}_{X}f)(z)=\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{p}_{i}(X;z)\frac{\partial f}{\partial {z}_{i}}(z),\end{eqnarray} und nennen ihn die „Lie-Ableitung“. Ebenso wie die Operatoren D_X ist dadurch eine Darstellung von \({\mathfrak{G}}\) definiert. Mit den Lie-Ableitungen L_X erzeugt man nun eine lokale Lie-Transformationsgruppe, also eine Darstellung von G als lokale Diffeomorphismen einer Umgebung W von z₀. Das Bild eines Punktes z ∈ W unter einem Element g = exp(X) ist hierbei definiert durch die Lösung des Anfangswertproblemes \begin{eqnarray}{{f}_{0}}\left(z \right)=0\,\,\frac{d}{dt}{{f}_{t}}\left(z \right)\,=\left({{L}_{X}}{{f}_{t}} \right)\left(z \right)\end{eqnarray} zur Zeit t = 1. Man schreibt abkürzend dann auch f_t(z) = z exp(tX). Hierbei müssen natürlich geeignete Voraussetzungen über W und X gemacht werden, so daß man die Eindeutigkeit der Lösung dieser Differentialgleichung im Interval [0, 1] gewährleisten kann – etwa muß W klein genug sein und g muß „nahe genug“ bei e liegen, sodaß es im Bild der Exponentialabbildung liegt. Wie man sich nun leicht überlegt, gilt damit dann z. B. z(gh) = (zg)h, wieder vorausgesetzt, g und h sind so gewählt, daß die betrachteten Ausdrücke wohldefiniert sind.

Ebenso wie die Lie-Ableitung L_X zu einer Darstellung von G als Diffeomorphismen von W führt, erzeugen die „verallgemeinerten Lie-Ableitungen“ D_X eine „Multiplikatordarstellung“ der lokalen Lie-Gruppe auf den analytischen Funktionskeimen. Definiert man nämlich Operatoren \(\text{T}:G\times {{\mathcal{A}}}_{{z}_{0}}\to {{\mathcal{A}}}_{{z}_{0}}\) durch \begin{eqnarray}\left(T\left(g \right)f \right)\left(z \right)\,:=\nu \left(z,g \right)f\left(zg \right)\end{eqnarray} mit Multiplikatoren v(z, g) ∈ ℂ, die das Anfangswertproblem \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}\nu \left(\cdot,\text{e} \right) & = & 1 \\ \frac{d}{dt}\nu \left(z,\exp \left(tX \right) \right) & = &\nu \left(z,\,\exp \left(tX \right) \right)Q\left(X;z \right) \\ \end{array}\end{eqnarray} lösen, so ist damit T(g)f Lösung einer vergleichbaren Differentialgleichung der verallgemeinerten Lie-Ableitungen, nämlich \begin{eqnarray}\frac{d}{dt}(\text{T}(\exp (tX))f)(z)=({D}_{X}f)(\text{exp}(tX)z).\end{eqnarray} Dies nennt man eine „Multiplikatordarstellung“ von G, denn es gilt hiermit bereits \begin{eqnarray}\text{T}\left(\text{e} \right)=\text{id}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{T}\left(\text{gh} \right)\,=\text{T}\left(\text{g} \right)\text{T}\left(\text{h} \right) \\ \text{T}\left(\text{g} \right)\left(\text{T}\left(\text{h} \right)\text{T}\left(\text{k} \right) \right)\,=\,\,\,\left(\text{T}\left(\text{g} \right)\text{T}\left(\text{h} \right) \right)\text{T}\left(\text{k} \right),\end{eqnarray} wieder unter der Einschränkung, daß alle hierbei auftretenden Ausdrücke wohldefiniert sind.

Berechnet man nun die Wirkung von T auf einem fest gewählten, unter der Wirkung von T abgeschlossenen Unterraum \({\mathcal{V}}\) von \({{\mathcal{A}}}_{{z}_{0}}\), und stellt τ als Matrixelemente bezüglich einer Basis von \({\mathcal{V}}\) dar, so erweisen sich besagte Matrixelemente bei richtig gewählter Gruppe und Basis als spezielle Funktionen. Ist also {v_k}_k∈ℕ eine Basis von analytischen Funktionen von \({\mathcal{V}}\), so schreiben wir, vorerst formal, \begin{eqnarray}\left(\text{T}\left(\text{g} \right){{v}_{\text{k}}} \right)\left(z \right)\,=\sum\limits_{l=1}^{\infty}{T_{k}^{l}\left(\text{g} \right){{v}_{l}}\left(z \right)}\end{eqnarray} mit geeigneten Entwicklungskoeffizienten \({T}_{k}^{l}\). Damit die Konvergenz dieser Reihe gewährleistet ist, muß {v_k}_k∈ℕ eine sog. „analytische Basis“ sein, d. h., jede Funktion \(f\in {\mathcal{V}}\) muß sich in eine konvergente Reihe von v_k entwickeln lassen: \begin{eqnarray}f=\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty}{c}^{k}(f){v}_{k}\end{eqnarray} so, daß diese Reihe in einem kleinen Kompaktum von z₀ gleichmäßig konvergiert und ferner die Entwicklungskoeffizienten \({c}_{k}:{\mathcal{V}}\to {\mathbb{C}}\) beschränkte lineare Funktionale auf \({\mathcal{V}}\) bezüglich der Supremumsnorm auf \({\mathcal{V}}\) sind.

Dadurch, daß T eine Darstellung der lokalen Lie-Gruppe G bildet, entstehen auf natürliche Weise Additionstheoreme für die speziellen Funktionen \({T}_{k}^{l}\), nämlich \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}\text{T}\left(\text{gh} \right) & = &\text{T}\left(\text{g} \right)\text{T}\left(\text{h} \right)\,\,\,\,\,\Rightarrow \\ \text{T}_{k}^{l}\left(\text{gh} \right) & = &\sum\limits_{j=1}^{\infty}{\text{T}_{j}^{l}\left(\text{g} \right)T_{k}^{j}\left(\text{h} \right)} \\ \end{array}\end{eqnarray} ebenso wie erzeugende Funktionen für die Matrixelemente \({T}_{k}^{j}\) und die Basisfunktionen v_l \begin{eqnarray}\text{T}\left(\text{g} \right){{v}_{k}}\,=\,\sum\limits_{l=1}^{\infty}{\text{T}_{k}^{l}\left(\text{g} \right){{v}_{l}}.}\end{eqnarray} Wählen wir nun eine andere Darstellung für die Lie-Algebra \({\mathfrak{G}}\) so, daß stattdessen die Basisfunktionen v_l die gesuchten speziellen Funktionen darstellen, so erhalten wir auf dem gleichen allgemeinen Niveau Rekursionsformeln: \begin{eqnarray}\frac{d}{d{{t}_{\left| t=0 \right.}}}\left(\text{T}\left(\text{exp}\left(tX \right) \right){{v}_{l}} \right)\left(z \right)\,=\left({{D}_{X}}{{v}_{l}} \right)\left(z \right).\end{eqnarray} Betrachten wir in einem Beispiel die Matrixgruppe T₃(ℂ) der Matrizen der Form \begin{eqnarray}g=\left(\begin{array}{*{35}{l}}1 & 0 & 0 & \tau \\0 & {{e}^{-\tau}} & 0 & c \\0 & 0 & {{e}^{\tau}} & b \\0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)\,\,b,c,\tau \in \mathbb{C}.\end{eqnarray} Diese Matrizen bilden eine Lie-Gruppe; die Lie-Algebra t₃(ℂ) dieser Gruppe wird dann erzeugt von den Matrizen \begin{eqnarray}{{j}^{+}}:=\left(\begin{array}{*{35}{l}}0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)\,\, \\& {{j}^{-}}:=\left(\begin{array}{*{35}{l}}0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\& {{j}^{3}}:=\left(\begin{array}{*{35}{l}}0 & 0 & 0 & 1 \\0 & -1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)\end{eqnarray} mit den Kommutatorrelationen \begin{eqnarray}\left[ {{\text{J}}^{\text{3}}}\text{,}{{\text{J}}^{\text{+}}} \right]\text{=}{{\text{J}}^{\text{+}}}\,\,\,\,\left[ {{\text{J}}^{\text{3}}}\text{,}{{\text{J}}^{-}} \right]\text{=}-\text{J}^-\,\,\,\left[ {{\text{J}}^{\text{+}}}\text{,}{{\text{J}}^{-}} \right]\text{=0}\text{.}\end{eqnarray} Wir stellen diese Algebra jetzt auf den analytischen Funktionskeimen in einer Umgebung von 1 durch die folgenden Differentialoperatoren dar: \begin{eqnarray}{{\text{J}}^{3}}={{m}_{0}}+z\frac{d}{dz}\,\,\,\,\,{{\text{J}}^{+}}=\omega z\,\,\,\,\,\,{{\text{J}}^{-}}=\frac{\omega}{z}\end{eqnarray} Dabei sind ω ≠ 0 und 0 ≤ Re(m₀) < 1 komplexe Zahlen. Als Multiplikatordarstellung von T₃ erhält man zunächst durch Integration \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\left(\text{T}\left(\exp \tau {{\text{J}}^{3}} \right)f \right)\left(z \right)=\,{{e}^{m_0\tau}}f\left(z{{e}^{\tau}} \right), \\ \left(\text{T}\left(\exp b{{\text{J}}^{+}} \right)f \right)\left(z \right)=\,{{e}^{b\omega z}}f\left(z \right), \\ \left(\text{T}\left(\exp c{{\text{J}}^{-}} \right)f \right)\left(z \right)=\,{{e}^{c\omega /z}}f\left(z \right).\end{array}\end{eqnarray} Für ein beliebiges g aus einer kleinen Umgebung der Einheit von T₃ entsteht somit \begin{eqnarray}(\text{T}(g)f)(z)={e}^{\omega bz/z+m0\tau}f({e}^{\tau}z).\end{eqnarray} wobei τ, c und b wie oben die Einträge in g definieren.

Sei nun \({\mathcal{V}}\subset {{\mathcal{A}}}_{1}\) der Abschluß des Raumes aller Potenzfunktionen v_l(z;) = z^l, l ∈ ℤ, unter Linearkombinationen und der Wirkung von T. Die Funktionen v_l bilden hierbei bereits eine analytische Basis von \({\mathcal{V}}\), da jede Funktion in \({\mathcal{V}}\) analytisch bis auf den Punkt z = 0 ist und sich demnach für z ≠ 0 eindeutig in eine Laurent-Reihe \(f(z)=\sum_{n=-\infty}^{{\infty}}\,{{a}_{n}}{{z}^{n}}\) entwickeln läßt, die bis auf den Punkt z = 0 auch konvergent ist. Definieren wir nun die Matrixelemente \({T}_{k}^{l}(\text{g})\) analog zu oben durch \begin{eqnarray}(\text{T}(g)f)(z)=\displaystyle \sum _{l=-\infty}^{\infty}{T}_{k}^{l}({g}){v}_{l}(z)=\displaystyle \sum _{l=-\infty}^{\infty}{T}_{k}^{l}({g}){z}^{l},\end{eqnarray} so entsteht durch Entwicklung der Exponentialfunktion im Ausdruck T(g)f die Reihenentwicklung \begin{eqnarray}{T}_{k}^{l}(g)={e}^{{(k+{m}_{0})}^{\tau}}{(c\omega)}^{k-1}\displaystyle \sum _{s=0}^{\infty}\frac{{({\omega}^{2}bc)}^{s}}{s!|(s+k-l)!}.\end{eqnarray} Diesen Ausdruck kann man auch durch die konfluente hypergeometrische Funktion ₀F₁ ausdrücken; es entsteht \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}{T}_{l}^{l}(g)= & \displaystyle\frac{{(c\omega)}^{(k-l+|k-l|)/2}{(b\omega)}^{(l-k+|k-l|)/2}}{|k-l|!}\\ & {e}^{({m}_{0}+k)\tau}{}_{0}{F}_{1}(|k-l|+1;{\omega}^{2}bc).\end{array}\end{eqnarray} Substituieren wir nun im Falle bc ≠ 0 noch die Gruppenparameter b und c durch r und v mit \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}r & =2\sqrt{|bc|{e}^{e(\arg b+\arg c+\pi)/2}}\\ v & =2\sqrt{|\frac{b}{c}|}{e}^{i(\arg b-\arg c+\pi)/2},\end{array}\end{eqnarray} so ist dieser Ausdruck gerade gleich \begin{eqnarray}{T}_{k}^{l}(g(r,v))={e}^{({m}_{0}+k)\tau}{(-v)}^{l-k}{J}_{l-k}(-\omega r),\end{eqnarray} wobei die J_l−k Bessel-Funktionen sind. Insbesondere geht die Relation \begin{eqnarray}(T(g)f)(z)=\displaystyle \sum _{l=-\infty}^{\infty}{T}_{k}^{l}(g){z}^{l}\end{eqnarray} für den Spezialfall τ = 0, v = −1, ω = −1 und k = 0 über in \begin{eqnarray}{e}^{r(z-{z}^{-1})/2}=\displaystyle \sum _{l=\infty}\infty {J}_{l}(r){z}^{l},\end{eqnarray} die wohlbekannte generierende Funktion der Bessel-Funktionen.

[1] Miller, W.: Lie Theory and Special Functions. Academic Press, 1968.