Kette, die die ursprüngliche Kette als echte Teilmenge enthält.

Insbesondere hat die Verfeinerung mehr Elemente (d. h., eine größere Länge) als die Ausgangskette. So ist zum Beispiel die Kette von Primidealen \begin{eqnarray} \left(0 \right)\underset{\ne}{\mathop \subset}\,\left({{X}_{1}} \right)\underset{\ne}{\mathop \subset}\,\left({{X}_{2}} \right)\underset{\ne}{\mathop \subset}\,\left({{X}_{5}} \right) \end{eqnarray} aus K[X₁, X₂, X₃, X₄, X₅], K ein Körper, eine Verfeinerung der Kette \begin{eqnarray} \left({{X}_{1}} \right)\underset{\ne}{\mathop \subset}\,\left({{X}_{5}} \right). \end{eqnarray}