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Lexikon der Mathematik: Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes

in der Regel die durch \begin{eqnarray}{F}_{\mu}(x):=\mu ((-\infty, x])\end{eqnarray} definierte Abbildung Fμ : ℝ → [0,1], wobei μ ein auf der σ-Algebra \({\mathfrak{B}}({\mathbb{R}})\) der Borelschen Mengen von ℝ definiertes Wahrscheinlichkeitsmaß bezeichnet.

Man nennt Fμ dann die Verteilungsfunktion von μ. Die Verteilungsfunktion Fμ besitzt die folgenden Eigenschaften:

  • Fμ ist monoton wachsend.
  • Fμ ist rechtsseitig stetig.
  • Es gilt limx→ − ∞Fμ(x) = 0 und limx→ ∞Fμ(x) = 1.
  • Zwischen den auf \({\mathfrak{B}}({\mathbb{R}})\) definierten Wahrscheinlichkeitsmaßen und den Funktionen, welche die Bedingungen (i)-(iii) erfüllen, besteht eine Bijektion, sodaß insbesondere auch zu jeder Funktion F : ℝ → [0, 1] mit den Eigenschaften (i)-(iii) genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß μF auf \({\mathfrak{B}}({\mathbb{R}})\) existiert, dessen Verteilungsfunktion F ist. Aufgrund dieses Zusammenhanges werden Verteilungsfunktionen auch als auf der reellen Achse definierte Abbildungen eingeführt, die den Bedingungen (i)-(iii) genügen. Häufig wird die Verteilungsfunktion Fμ eines Wahrscheinlichkeitsmaßes μ auch durch Fμ(x) := μ((− ∞, x)) definiert. Die so definierten Verteilungsfunktionen besitzen weiterhin die Eigenschaften (i) und (iii). Statt (ii) gilt jedoch:

    (ii′) Fμ ist linksseitig stetig.

    Auch bei Verwendung dieser Definition existiert zu jeder Funktion F mit den Eigenschaften (i), (ii′) und (iii) genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß μF, dessen Verteilungsfunktion F ist, d. h., die oben genannte Bijektion bleibt bestehen.

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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