n-dimensionale Verteilungsfunktion, mehrdimensionale Verallgemeinerung des Begriffes der Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsvariablen.

Ist X = (X₁,…,X_n) ein auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega, {\mathfrak{A}},P)\) definierter Zufallsvektor mit Werten in ℝⁿ, so definiert man die Verteilungsfunktion F_X : ℝⁿ → [0,1] von X für alle x = (x₁,…,x_n) ∈ ℝⁿ in der Regel durch \begin{eqnarray}{F}_{X}(x):=P({X}_{1}\le {x}_{1},\mathrm{\ldots},{X}_{n}\le {x}_{n}).\end{eqnarray}Für beliebige a = (a₁,…,a_n) und b = (b₁,…,b_n) mit a_i ≤ b_i, i = 1,…,n, ist die Wahrscheinlichkeit des Intervalls (a, b] = (a₁, b₁] ⨉,…,⨉ (a_n, b_n] durch \begin{eqnarray}P(X\in (a,b])={\Delta}_{{a}_{1},{b}_{1}}\mathrm{\ldots}{\Delta}_{{a}_{n},{b}_{n}}{F}_{X}({x}_{1},\mathrm{\ldots},{x}_{n})\end{eqnarray} gegeben, wobei die rechte Seite der Gleichung dahingehend zu verstehen ist, daß die für i = 1,…,n und beliebige Abbildungen G : ℝⁿ → ℝ punktweise durch \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{\Delta}_{{a}_{i},{b}_{i}}G({x}_{1},\mathrm{\ldots},{x}_{n})\\ \quad =G({x}_{1},\mathrm{\ldots},{x}_{i-1},{b}_{i},{x}_{i+1},\mathrm{\ldots},{x}_{n})\\\qquad -G({x}_{1},\mathrm{\ldots},{x}_{i-1},{a}_{i},{x}_{i+1},\mathrm{\ldots},{x}_{n})\end{array}\end{eqnarray} definierten Differenzenoperatoren \({\Delta}_{{a}_{i},{b}_{i}}\) sukzessive von rechts nach links auf F_X angewendet werden. Die Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors X = (X₁,…,X_n) besitzt die folgenden Eigenschaften:

Für beliebige Vektoren a = (a₁,…,a_n) und b = (b₁,…,b_n) mit a_i ≤ b_i für i = 1,…,n gilt \begin{eqnarray}{\Delta}_{{a}_{1},{b}_{1}}\mathrm{\ldots}{\Delta}_{{a}_{n},{b}_{n}}{F}_{X}({x}_{1},\mathrm{\ldots},{x}_{n})\ge 0.\end{eqnarray}

F_X ist rechtsseitig stetig.

Es gilt \({\mathrm{lim}}_{({x}_{1},\mathrm{\ldots},{x}_{n})\to (\infty, \mathrm{\ldots},\infty)}{F}_{X}({x}_{1},\mathrm{\ldots},{x}_{n})=1\,{\text{und}\,{\text {lim}}_{({x}_{1},\mathrm{\ldots},{x}_{n})\to ({y}_{1},\mathrm{\ldots},{y}_{n})}{F}_{X}({x}_{1},\mathrm{\ldots},{x}_{n})=0,}\) wenn mindestens eine Koordinate von y = (y₁,…,y_n) den Wert − ∞ annimmt.

Umgekehrt existiert zu jeder Abbildung \(F:{{\mathbb{R}}}^{n}\to {\mathbb{R}},\) welche die Bedingungen (i)-(iii) erfüllt, genau ein auf der σ-Algebra \({\mathfrak{B}}({{\mathbb{R}}}^{n})\) der Borelschen Mengen des ℝⁿ definiertes Wahrscheinlichkeitsmaß μ_F, das die Eigenschaft \begin{eqnarray}{\mu}_{F}((a,b])={\Delta}_{{a}_{1},{b}_{1}}\mathrm{\ldots}{\Delta}_{{a}_{n},{b}_{n}}F({x}_{1},\mathrm{\ldots},{x}_{n})\end{eqnarray} für alle \(a=({a}_{1},\mathrm{\ldots},{a}_{n})\,{\text{und}\,{b=(b}}_{1}\text{,}\mathrm{\ldots}{{,b}}_{n}\,{{\text {mit}\,a}}_{i}\le {b}_{i},i=1,\mathrm{\ldots},n,\) besitzt.

[1] Širjaev, A. N.: Wahrscheinlichkeit. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin, 1988.