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Lexikon der Mathematik: Vier-Quadrate-Satz allgemeiner

gibt die Darstellung des Produkts zweier Summen von jeweils vier Quadraten reeller Zahlen als Summe von vier Quadraten von bilinearen Ausdrücken in den Ausgangszahlen an.

Genauer gilt für alle \(a,b,c,d,{a}^{\prime},{b}^{\prime},{c}^{\prime},{d}^{\prime}\in {\mathbb{R}}:\)

\begin{eqnarray}\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}+{d}^{2})\cdot ({{a}^{\prime}}^{2}+{{b}^{\prime}}^{2}+{{c}^{\prime}}^{2}+{{d}^{\prime}}^{2})\\ ={(a{a}^{\prime}-b{b}^{\prime}-c{c}^{\prime}-d{d}^{\prime})}^{2}+{(a{b}^{\prime}+b{a}^{\prime}+c{d}^{\prime}-d{c}^{\prime})}^{2}\\ +{(a{c}^{\prime}+c{a}^{\prime}+d{b}^{\prime}-b{d}^{\prime})}^{2}+{(a{d}^{\prime}+d{a}^{\prime}+b{c}^{\prime}-c{b}^{\prime})}^{2}.\end{array}\end{eqnarray}

Diese Relation wurde 1748 von Euler entdeckt. Sie kann aus der Produktregel N(x · y) = N(x) · N(y) für die Norm in der Hamiltonschen Quaternionenalgebra abgeleitet werden.

Der Vier-Quadrate-Satz steht in Beziehung zu dem von Fermat formulierten Satz, daß jede natürliche Zahl als Summe von vier Quadraten natürlicher Zahlen darstellbar ist. Dieser Satz wurde 1770 von Lagrange bewiesen (Lagrange, Vier-Quadrate-Satz von). Durch den (allgemeinen) Vier-Quadrate-Satz kann er auf den Fall der Darstellung von Primzahlen reduziert werden. Für weitere Informationen vgl. Quadratesatz.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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