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Lexikon der Mathematik: Vieta-Produkt

die im Jahr 1593 von François Vieta (Viète) mittels geometrischer Überlegungen entdeckte Darstellung

\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{2}{\pi}=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdot \cdots.\end{eqnarray}

Man erhält diese Formel auch aus der Produktdarstellung

\begin{eqnarray}\sin x=x\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty}\cos \frac{x}{{2}^{n}}\end{eqnarray}

durch Setzen von \(x=\frac{\pi}{2}\), also

\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{2}{\pi}=\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty}\cos \displaystyle \frac{\pi}{{2}^{n+1}},\end{eqnarray}

und aus \(\cos \frac{\pi}{2}=1\) und \(\cos \frac{x}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2+2\cos x}\) für x ∈ [0, π/2].

Das Vieta-Produkt war das erste unendliche Produkt in der Mathematik und die erste explizite Darstellung von π als Grenzwert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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