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Lexikon der Mathematik: vollkommene Zahl

eine natürliche Zahl, die gleich der Summe ihrer echten Teiler ist, beispielsweise

\begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}6 & = & 1+2+3,\\ 28 & = & 1+2+4+7+14,\\ 496 & = & 1+2+4+8+16+31+62+124+248.\end{array}\end{eqnarray}

Vollkommene Zahlen wurden schon in der Antike studiert, ebenso wie defiziente oder abundante Zahlen, was sich durch die Teilersummenfunktion charakterisieren läßt.

Bei Pythagoras stellt die Summe der echten Teiler

\begin{eqnarray}\sigma^*(n)=\displaystyle \sum _{d\in {\mathbb{N}},d|n,d\ne n}d\end{eqnarray}

so etwas wie das „Wesen” der Zahl n dar; zwei Zahlen sind somit befreundete Zahlen, wenn die eine das „Wesen” der anderen ist. Damit ist eine natürliche Zahl genau dann vollkommen, wenn sie gleich ihrem „Wesen” ist.

Nach Augustinus schuf Gott die Welt in einer vollkommenen Anzahl von Tagen, nämlich in 6 Tagen, um damit die Vollkommenheit der Welt zum Ausdruck zu bringen.

Der Mönch Alcuin, der am Hofe Karls des Großen lebte, schrieb, daß die zweite Schöpfung der Menschheit durch Noah (8 Seelen waren in der Arche) weniger vollkommen als die erste Schöpfung (6 Tage) war, da 8 defizient, 6 aber vollkommen sei. Die Vollkommenheit der Zahl 28 spiegele sich auch darin wieder, daß der Mond die Erde in 28 Tagen einmal umkreise (was nur näherungsweise richtig ist).

Zur, strengen’ Mathematik der vollkommenen Zahlen ist noch folgendes bemerkenswert: Aufbauend auf Euklid charakterisierte Euler die geraden vollkommenen Zahlen mit Hilfe der Mersenneschen Primzahlen (Mersenne-Zahlen) wie folgt:

Eine gerade natürliche Zahl n ist genau dann vollkommen, wenn sie die Form

\begin{eqnarray}n={2}^{p-1}({2}^{p}-1)\end{eqnarray}

hat, wobei sowohl p als auch 2p − 1 Primzahlen sein müssen.

Die obigen Beispiele 6, 28, 496 ergeben sich aus dieser Formel, indem man die ersten drei Primzahlen p = 2, 3, 5 einsetzt.

Es ist bis heute noch eine offene Frage, ob es auch ungerade vollkommene Zahlen gibt; bekannt ist, daß jedenfalls unterhalb von 10200 keine solchen existieren.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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