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Lexikon der Mathematik: vollkommener Körper

ein (algebraischer) Körper \({\mathbb{K}}\), in dem jedes irreduzible Polynom aus \({\mathbb{K}}[X]\) auch separabel ist, d. h. keine mehrfache Nullstelle in einem Erweiterungskörper besitzt.

Körper der Charakteristik Null sind immer vollkommen. Aber auch alle endlichen Körper sind vollkommen. Generell gilt:

Ein Körper der Charakteristik p ist genau dann vollkommen, wenn es für jedes Element im Körper eine p-te Wurzel gibt.

Trivialerweise sind algebraisch-abgeschlossene Körper immer vollkommen. Jede algebraische Körpererweiterung eines vollkommenen Körpers \({\mathbb{K}}\) ist eine separable Erweiterung von \({\mathbb{K}}\). Ein Beispiel eines Körpers, der nicht vollkommen ist, ist der rationale Funktionenkörper \({{\mathbb{F}}}_{p}(X)\) in einer Variablen X über dem Restklassenkörper \({{\mathbb{F}}}_{p}\) mit p Elementen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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