Eigenschaft einer Menge im Zusammenhang mit einer Abbildung.

Es seien X eine Menge und f : X → X eine Abbildung. Eine Menge E ⊂ X heißt vollständig invariant unter f, falls die Bildmenge f(E) und die Urbildmenge f⁻¹(E) in E enthalten sind.

Es gilt dann bereits

\begin{eqnarray}f(E)={f}^{-1}(E)=E.\end{eqnarray}

Die vollständige Invarianz einer Menge E ⊂ X ist insbesondere von Interesse bei der Untersuchung stetiger Abbildungen f eines topologischen Raums X in sich. Zum Beispiel sind die Fatou-Menge und die Julia-Menge einer rationalen Funktion f (die als stetige Abbildung von \(\widehat{{\mathbb{C}}}\) in sich aufgefaßt werden kann) vollständig invariant.

Neben der vollständigen Invarianz einer Menge sind noch zwei schwächere Invarianzbegriffe von Bedeutung. Man nennt E ⊂ X invariant (oder vorwärts invariant), falls f(E) ⊂ E, und rückwärts invariant, falls f⁻¹(E) ⊂ E. Es ist also E genau dann vollständig invariant, wenn E vorwärts und rückwärts invariant ist.