hinreichendes Kriterium für die Stabilität von Differenzenverfahren zur approximativen Lösung partieller Differentialgleichungen.

Es sei das Differenzenverfahren gegeben in der Form

\begin{eqnarray}{\tilde{u}}^{(k+1)}(x):=\displaystyle \sum _{\nu=-\infty}^{\infty}{c}_{\nu}(\Delta t,\lambda){\tilde{u}}^{(k)}(x){\rm{\hspace{0.17em}}}+{\rm{\hspace{0.17em}}}\Delta tg(x).\end{eqnarray}

Dabei approximiert \({\tilde{u}}^{(k)}(x)\) die unbekannte Funktion u(t, x) für \(t{\rm{\hspace{0.17em}}}={\rm{\hspace{0.17em}}}{t}_{0}{\rm{\hspace{0.17em}}}+{\rm{\hspace{0.17em}}}k\Delta t{\rm{\hspace{0.17em}}}\le {\rm{\hspace{0.17em}}}T,{\rm{\hspace{0.17em}}}k{\rm{\hspace{0.17em}}}={\rm{\hspace{0.17em}}}{\rm{\hspace{0.17em}}}1,2,\mathrm{....}\) Die Diskretisierung in x-Richtung mit Schrittweite Δx ist nicht explizit angegeben, lediglich das Verhältnis λ = Δt/Δx ist als konstant angenommen.

Seien γ_j, 1 ≤ j ≤ n, die Eigenwerte der sogenannten Verstärkungsmatrix

\begin{eqnarray}G(\Delta t,\lambda, \xi)=\displaystyle \sum _{\nu=-\infty}^{\infty}{c}_{\nu}(\Delta t,\lambda){e}^{i\nu\xi}.\end{eqnarray}

Die von Neumann-Bedingung besteht dann darin, daß für alle |ξ| ≤ π die Eigenwerte der Abschätzung

\begin{eqnarray}|{\gamma}_{j}|{\rm{\hspace{0.17em}}}\le {\rm{\hspace{0.17em}}}1{\rm{\hspace{0.17em}}}+{\rm{\hspace{0.17em}}}\Delta tK\end{eqnarray}

mit einer festen Konstanten K genügen.

Diese von Neumann-Bedingung ist nicht zu verwechseln mit der von Neumann-Randbedingung.