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Lexikon der Mathematik: von Neumann, John (Janos)

Mathematiker und Informatiker, geb. 28.12.1903 Budapest, gest. 8.2.1957 Washington D.C..

John von Neumann, Sohn eines Bankiers, fiel schon frühzeitig am Gymnasium seiner Geburtsstadt durch seine Begabung auf. 1915/16 erhielt er durch G. Szegö und später durch andere bedeutende ungarische Mathematiker speziellen Mathematikunterricht. Nach Abschluß des Gymnasiums studierte er 1921 bis 1925 in Berlin, Zürich und Budapest Mathematik und Chemie, promovierte 1925 an der Budapester Universität, bildete sich als Rockefeller-Stipendiat bei D. Hilbert in Göttingen weiter, und arbeitete 1927 bis 1933 als Privatdozent an den Universitäten Berlin und Hamburg. Ab 1930 nahm er parallel dazu eine Gastdozentur an der Universität Princeton wahr, und orientierte sich in seiner wissenschaftlichen Laufbahn zunehmend auf eine Karriere in den USA hin. Die ungünstige Situation an den deutschen Hochschulen, die zunehmenden antisemitischen Ressentiments und schließlich die politische Entwicklung ließen von Neumann im Herbst 1933 eine Professur am neu gegründeten Institute for Advanced Study in Princeton annehmen. Ab 1937 war er auch als Berater der US-Armee tätig, 1943 wurde er Konsultant im Atombombenprojekt in Los Alamos und 1954 Mitglied der Atomenergiekommission. Er starb an einer Krebserkrankung, die vermutlich auf seine Teilnahme an Atombombentests zurückzuführen ist.

Seine ersten mathematischen Arbeiten verfaßte von Neumann noch als Gymnasiast zusammen mit seinen Lehrern. Er beschäftigte sich darin vorrangig mit Fragen der Mengenlehre und entwickelte in der Dissertation und einer 1928 veröffentlichten, aber wesentlich früher geschriebenen Arbeit eine Axiomatik der Mengenlehre. Um die bis dahin bekannten Antinomien zu vermeiden, führte er neben den Mengen noch Klassen ein und schloß dabei die Bildung „zu großer Mengen” aus.

1926 begann er sich der mathematischen Begründung der Quantenmechanik zuzuwenden, seine Forschungen gipfelten in dem 1932 erschienenen Buch „Die mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik”, das für weitere Fortschritte in der Mathematik und der mathematischen Physik bedeutsam war. Den Ausgangspunkt bildete seine Überzeugung, daß die verschiedenartigen Argumentationen von W. Heisenberg und E. Schrödinger eine gemeinsame mathematische Basis haben müssen. Dies führte ihn zu umfangreichen Untersuchungen zur Funktionalanalysis, speziell zur Struktur der Hilberträume und der Operatoren in ihnen. Er arbeitete die Rolle des Skalarprodukts heraus und gab eine axiomatische Charakterisierung des Hilbertraumes sowie eine abstrakte Formulierung der Hilbertschen Spektraltheorie.

Weitere wichtige Resultate in den 30er Jahren waren die Einführung der lokalkonvexen Räume sowie das Studium algebraischer Beziehungen in Mengen von Operatoren. Die lokalkonvexen Räume sollten sehr bald im Rahmen der Dualitätstheorie topologischer Räume, insbesondere der Distributionentheorie, eine ausgezeichnete Rolle bei deren Begründung spielen.

Die Ende der 20er Jahre begonnenen Untersuchungen zu Mengen von beschränkten Operatoren fanden ihren Höhepunkt in den Arbeiten „On rings of operators”, die von Neumann meist gemeinsam mit F. Murray zwischen 1936 und 1943 publizierte, und die die Basis für die heute als Theorie der von Neumann-Algebren bezeichnete Lehre bildeten. Von Neumann deckte auch die Beziehungen zwischen Operatorenalgebren und stetigen Geometrien auf, indem er die möglichen Interpretationen von gewissen stetigen Geometrien mit der Menge von Projektionsoperatoren gewisser Operatorenalgebren endlichen Typs nachwies.

Weitere bedeutende Ergebnisse des vielseitigen von Neumannschen Schaffens in den 30er Jahren waren 1932 der Beweis des statistischen Ergodentheorems, mit dem er einen wichtigen Baustein zum mathematisch strengen Aufbau der Ergodentheorie leistete – 10 Jahre später gelang ihm zusammen mit P. Halmos ein erster Schritt zur Klassifikation maßerhaltender Abbildungen –, 1934 die Konstruktion eines invarianten Maßes auf kompakten Gruppen, sowie 1936 der Beweis der Eindeutigkeit des Haar-Maßes auf lokalkompakten Gruppen, und, in Erweiterung dieser Ideen auf allgemeinere Gruppen, ebenfalls 1934 die Definition der fastperiodischen Funktionen auf Gruppen und die damit verbundene neue allgemeine Begründung dieses mathematischen Teilgebietes.

Ab Ende der 30er Jahre übernahm von Neumann mehrere zeitaufwendige administrative Aufgaben, gleichzeitig konzentrierte sich sein Interesse auf Probleme der Rechentechnik und Automaten, die ihn mit A. Turing zusammenführten. In Verbindung mit intensiven Arbeiten am Atombombenprojekt schuf von Neumann ab Ende 1943 eine Konzeption für eine allgemeine Programmverarbeitung auf elektronischen Rechenmaschinen, analysierte die Struktur von Programmiersprachen und Algorithmen und war wesentlich an der theoretischen und konstruktiven Entwicklung der ersten elektronischen Großrechner beteiligt. 1946 leitete er dann das Computer-Projekt am Institute for Advanced Study.

Interessante Anregungen für seine Arbeiten erhielt von Neumann insbesondere aus der Theorie der Neuronalen Netze, mit der er ebenfalls 1943 bekannt wurde. Er untersuchte die biologischen Informationsprozesse und stellte eine Analogie zwischen Computer und Gehirn her (posthum 1958 publiziert). Eine weitere Verbindung ergab sich zur Numerischen Mathematik. Neben den aus dem Atombombenprojekt resultierenden numerischen Problemen behandelte er zahlreiche Fragen wie Schockwellen, Flüssigkeitsströmungen, u.ä. Ein bevorzugtes Interessengebiet von Neumanns waren auch die Wirtschaftswissenschaften. Angeregt durch die wirtschaftlichen Probleme Ende der 20er Jahre begann er, sich mit ökonomischen Theorien zu beschäftigen. Mit der ihm eigenen raschen Auffassungsgabe arbeitete er sich in kurzer Zeit in diese Theorien ein und verband sie mit Ideen der Spieltheorie. 1928 stellte er einen Strategiebegriff auf, bewies sein Minimaxtheorem, und behandelte n-Personen-Spiele. Die diesbezüglichen Resultate wandte er sowohl auf ökonomische als auch auf militärische Fragen an, und entwickelte ein Modell für ein allgemeines ökonomisches Gleichgewicht. Das zusammen mit O. Morgenstern (1902–1977) 1944 verfaßte Buch „Theory of Games and Economic Behavior” wurde ein Standardwerk.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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