Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Wachstumsmodelle

zeitabhängige, i. allg. parametrische Modelle (Funktionen) zur Beschreibung von Wachstums- bzw. Sättigungsvorgängen.

Diese haben häufig biologischen oder ökologischen, aber auch ökonomischen bzw. physikalischtechnischen Hintergrund. Die Anpassung von Wachstumsfunktionen an beobachtete Daten, d. h. die Bestimmung des Typs der Funktion sowie ihrer Parameter, erfolgt häufig mit der statistischen Methode der Regressionsanalyse.

Typische Funktionen, die als Wachstumsfunktionen verwendet werden, sind die folgenden.

  1. Die logistische Funktion \begin{eqnarray}y(t)=y(t,\alpha, \beta, \gamma)=\frac{\gamma}{1+\beta {\text{e}}^{-\alpha t}}.\end{eqnarray} Sie ist an der Stelle t = 0 gleich \begin{eqnarray}\frac{\gamma}{1+\beta}\end{eqnarray}, strebt für \begin{eqnarray}t\to \infty \end{eqnarray} im Falle α > 0 gegen die Sättigungsgrenze γ und im Falle α < 0 gegen 0. Mitunter läßt sich das Bevölkerungswachstum in einem Land durch die logistische Funktion darstellen.
  2. Die Mitscherlich-Funktion \begin{eqnarray}y(t)=\alpha +\beta {e}^{\gamma t}\quad \text{mit}\,\,\gamma \lt \text{0}\text{.}\end{eqnarray} Sie wird zur längerfristigen Beschreibung von Ertrags- und Wachstumsvorgängen verwendet. An der Stelle t = 0 ist sie gleich α + β, und für t → ∞ strebt sie gegen die Sättigungsgrenze α.
  3. Die Gompertz-Kurve \begin{eqnarray}y(t)={e}^{\alpha +\beta {\gamma}^{t}}\quad \text{mit}\,\,0\lt \gamma \lt 1.\end{eqnarray} Sie wird zur Beschreibung von Wachstumsvorgängen verwendet, für die y(t) > 0 für alle t gilt.
  4. Die allometrische Funktion \begin{eqnarray}y(t)=\beta x{(t)}^{\alpha}.\end{eqnarray}

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnerinhalte