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Lexikon der Mathematik: Wärmeleitungsgleichung

parabolische partielle Differentialgleichung zur Beschreibung der Temperaturverteilung.

Wir beschreiben zunächst den Fall einer Raumvariablen: In einem gegebenen Stab genügt die Temperaturverteilung u(x, t) an der Stelle x und zum Zeitpunkt t der Gleichung \begin{eqnarray}\varrho (x){u}_{t}={(k(x){u}_{x})}_{x}+F(x,t),\end{eqnarray} wobei mit \begin{eqnarray}\varrho \end{eqnarray} und k materialabhängige und zeitlich konstante Funktionen bezeichnet werden, während F den äußeren Temperatureinfluß beschreibt.

Im Falle eines homogenen Stabes mit endlicher Ausdehnung 0 ≤ xl kommt man zu einer Anfangs-Randwert-Aufgabe der folgenden Art: \begin{eqnarray}{u}_{t}={a}^{2}{u}_{xx}+F(x,t)\end{eqnarray} mit den Nebenbedingungen u(x, 0) = f (x) und u(0, t) = g(t), u(l, t) = h(t). Damit sind die Anfangstemperatur zur Zeit t und der Temperaturverlauf an den Stabenden vorgegeben. Diese Aufgabe wird üblicherweise in einfacher zu behandelnde Teilprobleme zerlegt, deren Lösungen dann durch Superposition zur Gesamtlösung zusammengesetzt werden können. So lautet die zugehörige homogene Differentialgleichung mit homogenen Randbedingungen: \begin{eqnarray}{u}_{t}={a}^{2}{u}_{xx}\end{eqnarray} mit den Nebenbedingungen u(x, 0) = f (x) und u(0, t) = 0, u(l, t) = 0. Mit einem Separationsansatz erhält man die eindeutige Lösung \begin{eqnarray}u(x,t)=\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int}}G(x,t,z)f(z)dz\end{eqnarray} mit der Kernfunktion \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}G(x,t,z)= & \frac{2}{l}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}\exp \left[-{\left(\frac{an\pi}{l}\right)}^{2}t\right]\\ & \cdot \sin \frac{n\pi}{l}x\sin \frac{n\pi}{l}z.\end{array}\end{eqnarray}

Dagegen lautet die inhomogene Gleichung mit homogenen Randbedingungen \begin{eqnarray}{u}_{t}={a}^{2}{u}_{xx}+F(x,t)\end{eqnarray} mit den Nebenbedingungen u(x, 0) = 0 und u(0, i) = 0, u(l, i) = 0. Hier kommt man zu der Lösung \begin{eqnarray}u(x,t)=\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int}}\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int}}G(x,t-u,z)F(z,u)dzdu\end{eqnarray} mit der oben eingeführten Kernfunktion G. Das allgemeine Anfangs-Randwert-Problem läßt sich dann über einen Ansatz der Form u(x, i) = v(x, i) + w(x, i) auf die beiden Sonderfälle zurückführen.

Die allgemeine Wärmeleitungsgleichung in n Raumvariablen ist von der Form \begin{eqnarray}{u}_{t}={a}^{2}\Delta u+F({x}_{1},\ldots, {x}_{n,}t),\end{eqnarray} wobei u = u(x1, …, xn, t) eine Funktion der n Raumvariablen x1, …, xn und der Zeit t ist, und Δ den Laplace-Operator, angewandt auf die Variablen x1, …, xn, bezeichnet. Ihre Lösungen genügen einem Randmaximum-Minimum-Prinzip, was Ihre numerische (approximative) Lösung erleichtert.

[1] Hellwig, G.: Partial Differential Equations. Teubner-Verlag Stuttgart, 1977.
[2] John, F.: Partial Differential Equations. Springer-Verlag Heidelberg, 1978.
[3] Wloka, J.: Partielle Differentialgleichungen. Teubner- Verlag Stuttgart, 1982.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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